Diviseur
Un nombre entier d est un diviseur d'un autre nombre entier n si la division de n par d donne un reste de 0. On dit alors que n est divisible par d.
Multiple
Un nombre entier m est un multiple d'un nombre entier n s'il existe un nombre entier k tel que m = n × k. Autrement dit, m est dans la table de multiplication de n.
Nombre premier
Un nombre premier est un nombre entier qui n'a que deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Exemples : 2, 3, 5, 7, 11...
Qu'est-ce que la divisibilité ?
En mathématiques, la divisibilité est une notion très importante qui te permet de comprendre si un nombre entier peut être divisé par un autre nombre entier sans qu'il reste de 'reste'. Imagine que tu as 10 bonbons et que tu veux les partager équitablement entre 2 amis. Chaque ami aura 5 bonbons et il ne restera rien. On dit alors que 10 est divisible par 2. Si tu voulais partager ces 10 bonbons entre 3 amis, ce serait plus compliqué : chacun aurait 3 bonbons, mais il en resterait 1. Dans ce cas, 10 n'est pas divisible par 3. Comprendre la divisibilité t'aide à simplifier des fractions, à trouver des multiples ou des diviseurs communs, et c'est une base pour des notions plus complexes comme les nombres premiers.
Les critères de divisibilité : Des astuces pour vérifier !
Pour savoir rapidement si un nombre est divisible par un autre sans faire la division, il existe des 'règles' appelées critères de divisibilité. Ces astuces sont très pratiques et te feront gagner du temps. Voici les plus importantes :
- Divisibilité par 2 : Un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre (chiffre des unités) est 0, 2, 4, 6 ou 8. C'est simple, tous les nombres pairs sont divisibles par 2.
Exemple : 48 est divisible par 2 car il se termine par 8. - Divisibilité par 5 : Un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.
Exemple : 125 est divisible par 5 car il se termine par 5. - Divisibilité par 10 : Un nombre est divisible par 10 si son dernier chiffre est 0.
Exemple : 340 est divisible par 10 car il se termine par 0. - Divisibilité par 3 : Un nombre est divisible par 3 si la somme de tous ses chiffres est un multiple de 3.
Exemple : Pour 123, la somme des chiffres est 1+2+3=6. Comme 6 est divisible par 3 (6=3x2), alors 123 est divisible par 3. - Divisibilité par 9 : Un nombre est divisible par 9 si la somme de tous ses chiffres est un multiple de 9.
Exemple : Pour 459, la somme des chiffres est 4+5+9=18. Comme 18 est divisible par 9 (18=9x2), alors 459 est divisible par 9.
Exemple pratique : Le nombre 264
Prenons le nombre 264 et appliquons les critères de divisibilité :
- Le chiffre des unités est 4. Puisqu'il est pair, 264 est un multiple de 2.
- Le chiffre des unités n'est ni 0, ni 5. Donc 264 n'est pas un multiple de 5.
- Le chiffre des unités n'est pas 0. Donc 264 n'est pas un multiple de 10.
- Calculons la somme de ses chiffres : 2 + 6 + 4 = 12. Comme 12 est un multiple de 3 (12 = 3 × 4), alors 264 est un multiple de 3.
- La somme de ses chiffres est 12. Comme 12 n'est pas un multiple de 9, alors 264 n'est pas un multiple de 9.
Propriétés utiles de la divisibilité
La divisibilité a aussi quelques propriétés intéressantes qui peuvent t'aider dans des calculs ou des démonstrations :
- Si un nombre est divisible par a et par b, il n'est pas toujours divisible par a × b. Cela n'est vrai que si a et b sont 'premiers entre eux' (c'est-à-dire qu'ils n'ont que 1 comme diviseur commun).
Exemple : 12 est divisible par 2 et par 6, mais il n'est pas divisible par 2 × 6 = 12. Ah si, il l'est ! Prenons un autre exemple : 30 est divisible par 2 et par 3, et 30 est divisible par 2x3=6. C'est vrai! Mais 12 est divisible par 6 et par 4. 6x4=24. Or 12 n'est pas divisible par 24. Donc, attention à cette règle. - Si un nombre divise deux autres nombres, alors il divise aussi leur somme et leur différence.
Exemple : 4 divise 8 et 4 divise 12. Alors 4 divise (8 + 12 = 20) et 4 divise (12 - 8 = 4). - Si un nombre divise un autre nombre, alors il divise aussi tous les multiples de ce nombre.
Exemple : 3 divise 6. Alors 3 divise 6 × 5 = 30 (et aussi 6 × 7 = 42, etc.).
A retenir :
Résumé des notions clés :
- La divisibilité concerne la division sans reste entre nombres entiers.
- Un diviseur divise un nombre entier sans reste. Un multiple est le résultat d'une multiplication.
- Les critères de divisibilité (par 2, 3, 5, 9, 10) sont des raccourcis pour identifier les diviseurs.
- Un nombre est divisible par 2 s'il est pair (se termine par 0, 2, 4, 6, 8).
- Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5.
- Un nombre est divisible par 10 s'il se termine par 0.
- Un nombre est divisible par 3 (ou 9) si la somme de ses chiffres est divisible par 3 (ou 9).
- Connaître la divisibilité simplifie les calculs et aide à résoudre des problèmes de nombres.