Le calcul de limites permet de déterminer la tendance d'une fonction à l'approche d'un certain point. Pour effectuer ce calcul, divers outils et techniques mathématiques peuvent être utilisés, tels que la substitution directe, la factorisation, la simplification, ou encore l'application de teorèmes spécifiques lorsque les méthodes élémentaires échouent. Une des méthodes de base est la substitution directe: si f est une fonction polynomiale y = f(x) et si cette fonction est continue en x = a, alors lim_{x → a} f(x) = f(a). Cette méthode implique qu’à condition que le polynôme soit défini et simple à x = a, la limite de f(x) alors que x tend vers a est simplement égale à la valeur du polynôme à x = a.

Dans certains cas, la méthode de substitution directe ne fonctionne pas, en particulier lorsque les valeurs indéfinies apparaissent dans la forme 0/0. Dans ces situations, il peut être nécessaire de simplifier l'expression avant de calculer la limite. Cette simplification peut impliquer des techniques telles que la factorisation, ou l'examen de termes similaires pour éliminer les sources d'indétermination.

Dans de nombreux cas également, les limites à l’infini se rencontrent surtout avec des fractions qui ont des polynômes en numérateur et dénominateur. Il est souvent utile de diviser les termes du numérateur et du dénominateur par la variable à la plus haute puissance apparaissant dans le dénominateur pour établir plus facilement le comportement à l’infini.

La continuité d'une fonction à un point est directement liée à la notion de limite. Pour qu'une fonction y = f(x) soit continue en un point x = a, il est nécessaire que la limite de f(x) existe lorsque x tend vers a et que cette limite soit égale à la valeur de la fonction en ce point, c'est-à-dire f(a).

La continuité est une propriété qui garantit que la fonction ne présente pas de 'saut' soudain dans sa courbe à cet endroit. Si une fonction est continue sur l'ensemble de son domaine, elle est alors dite simplement continue.

Certaines techniques pour prouver la continuité incluent l'application de la définition de la continuité, ainsi que l'utilisation de critères théorétiques équivalents ou dérivés, tels que l'utilisation de la composition de fonctions continues ou l'exploitation des propriétés de fonctions polynomiales, exponentielles, et logarthimques qui sont connues pour être continues partout sur leur domaine.

En analyse, une situation d'indétermination apparaît lorsque la substitution de la limite dans une expression mathématique mène à une forme qui ne permet pas de déterminer directement la limite de l'expression. Les formes indéterminées classiques sont 0/0, ∞/∞, 0 × ∞, ∞ - ∞, 0^0, ∞^0, et 1^∞.

Différentes méthodes peuvent être utilisées pour résoudre ou sortir de ces situations, y compris la factorisation, la multiplication par le conjugué, l'application du théorème du passage à la limite, les développements limités, ainsi que l'application de la règle de l'Hôpital, qui est particulièrement efficace dans le cas des formes indéterminées 0/0 ou ∞/∞. Cette règle stipule que dans ces situations, sous certaines conditions, il est possible de différencier les numérateur et dénominateur pour calculer plus facilement la limite cherchée.