Définition
Equation du second degré
Une équation du second degré est une équation qui peut être écrite sous la forme ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des coefficients réels et a ≠ 0.
Discriminant
Le discriminant d'une équation du second degré, noté Δ, est donné par la formule Δ = b² - 4ac. Il détermine le nombre et la nature des solutions.
Racines
Les racines d'une équation sont les valeurs de x pour lesquelles l'équation est vérifiée. Pour une équation du second degré, cela peut correspondre à des solutions réelles ou complexes.
Résolution de l'équation
Calcul du discriminant
Pour résoudre une équation du second degré ax² + bx + c = 0, il est crucial de calculer le discriminant Δ = b² - 4ac. Le discriminant permet de déterminer la nature des solutions que l'équation peut posséder.
Nature des Solutions
Le discriminant Δ joue un rôle déterminant pour la résolution des équations du second degré :
- Si Δ > 0, l'équation possède deux solutions réelles et distinctes. Ces solutions sont données par x₁ = (-b + √Δ) / (2a) et x₂ = (-b - √Δ) / (2a).
- Si Δ = 0, l'équation a une solution réelle double. Cette solution est x = -b / (2a).
- Si Δ < 0, l'équation n'a pas de solutions réelles mais deux solutions complexes. Ces solutions peuvent être exprimées sous la forme x₁ = (-b + i√|Δ|) / (2a) et x₂ = (-b - i√|Δ|) / (2a).
Forme canonique
La forme canonique d'une équation quadratique est utile pour caractériser graphiquement une parabole. Elle s'écrit sous la forme ax² + bx + c = a(x - α)² + β, où α = -b/(2a) et β = c - (b²/(4a)). Cette forme permet de déterminer le sommet de la parabole associée, ce qui est particulièrement utile en géométrie analytique.
Utilisation de la forme factorisée
Lorsque le discriminant est positif ou nul, il est possible de réécrire l'équation du second degré sous sa forme factorisée : a(x - x₁)(x - x₂) = 0. Cette forme est très pratique pour résoudre des équations et étudier des fonctions car elle met en évidence les racines de l'équation.
A retenir :
La résolution d'une équation du second degré repose principalement sur le calcul du discriminant Δ = b² - 4ac. La valeur de Δ détermine le nombre et la nature des solutions : deux solutions réelles si Δ > 0, une solution double si Δ = 0, et deux solutions complexes si Δ < 0. Les formes canonique et factorisée permettent une analyse plus approfondie de la fonction quadratique associée et facilitent la résolution et l'étude des équations et des fonctions quadratiques.
