L'addition est une opération fondamentale dans l'ensemble N. Elle consiste à combiner deux entiers naturels pour obtenir un autre entier naturel. Elle est associative, commutative et possède un élément neutre qui est 0. Cela signifie que pour tout a, b, c dans N :
- (a + b) + c = a + (b + c)
- a + b = b + a
- a + 0 = a
Définition
Ensemble N . N*
les nbrs entier naturel (0.1.2.3.4...) forment un ensemble infinie appelé ensemble des entiers naturels N, les nbrs (1.2.3.4...) forment une ensemble non nul N*
Entier naturel
Un entier naturel est un nombre entier positif ou nul appartenant à l'ensemble des entiers naturels N.
Arithmétique
L'arithmétique est une branche des mathématiques qui traite des propriétés des entiers et des opérations qui peuvent être effectuées sur eux, telles que l'addition, la soustraction, la multiplication, et la division.
Propriétés fondamentales de N
Addition
Multiplication
La multiplication dans N, tout comme l'addition, possède des propriétés similaires : elle est associative, commutative, et l'élément neutre est 1. Cela signifie que pour tout a, b, c dans N :
- (a × b) × c = a × (b × c)
- a × b = b × a
- a × 1 = a
- (a × b) × c = a × (b × c)
- a × b = b × a
- a × 1 = a
Division et Modulo
Contrairement à l'addition et à la multiplication, la division n'est pas toujours possible dans l'ensemble N sans sortir de cet ensemble. Cependant, il est fréquent d'utiliser le reste de la division euclidienne, que l'on appelle le 'modulo'. Pour deux entiers naturels a et b (b≠0), il existe deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b×q + r avec 0 ≤ r < b. C'est ce que l'on appelle la division euclidienne.
Équations et Résolution
Une partie importante de l'arithmétique au lycée est la résolution d'équations dans l'ensemble N. Cela peut inclure des équations linéaires ou des congruences suivant les propriétés du modulo. Résoudre une équation consiste à trouver tous les entiers naturels qui vérifient cette équation.
A retenir :
Dans l'ensemble des entiers naturels N, les opérations fondamentales sont l'addition et la multiplication, qui sont toutes les deux associatives, commutatives, avec une identité respective (0 pour l'addition et 1 pour la multiplication). La division est également considérée, mais souvent en relation avec le reste et le quotient dans le contexte de la division euclidienne. Comprendre ces propriétés et opérations permet de résoudre des équations impliquant des entiers naturels.
