Définition
Inconnue
En mathématiques, une inconnue est une valeur que l'on cherche à déterminer dans une équation ou une expression. Elle est habituellement représentée par une lettre, souvent x, y ou z.
Équation
Une équation est une égalité contenant une ou plusieurs inconnues. Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs possibles des inconnues qui vérifient cette égalité.
Isoler une inconnue
Isoler une inconnue consiste à manipuler une équation de sorte que l'inconnue soit seule d'un côté du signe égal, avec tous les autres termes de l'autre côté.
Manipulations de base
Afin d'isoler une inconnue, plusieurs manipulations algébriques peuvent être appliquées à une équation. Ces manipulations doivent toujours préserver l'égalité d'origine. Voici les principales opérations utilisées:
Opérations Addition et Soustraction
Pour déplacer un terme d'un côté de l'équation à l'autre, on peut ajouter ou soustraire ce terme des deux côtés. Par exemple, pour isoler x dans l'équation x + 3 = 7, on soustrait 3 des deux côtés, obtenant ainsi x = 4.
Opérations de Multiplication et Division
Si une inconnue est multipliée par un facteur, on peut diviser les deux côtés de l'équation par ce même facteur pour l'isoler. Inversement, si une inconnue est au dénominateur, on peut multiplier les deux côtés par le dénominateur pour l'isoler. Par exemple, pour résoudre 3x = 12, on divise chaque côté par 3 pour obtenir x = 4.
Opérations avec des Puissances
Quand l'inconnue est sous forme de puissance, des techniques spécifiques sont nécessaires. Par exemple, pour résoudre une équation où l'inconnue est élevée au carré, telle que x² = 16, on appliquera la racine carrée aux deux côtés pour obtenir x = 4 ou x = -4.
Isoler une Inconnue dans des Équations Variées
Équations Linéaires
Pour les équations linéaires du type ax + b = c, les opérations de base suffisent généralement. On applique la soustraction pour retirer le terme constant de l'un des côtés et utilise la division pour se débarrasser du coefficient multiplicateur de l'inconnue. Exemple : 2x + 3 = 11 devient 2x = 8 après soustraction de 3, et ensuite x = 4 après division par 2.
Équations Quadratiques
Les équations quadratiques peuvent souvent être résolues en utilisant la factorisation ou la formule quadratique. Prenons x² - 5x + 6 = 0. Elle peut être factorisée en (x - 2)(x - 3) = 0, ce qui donne les solutions x = 2 ou x = 3.
Équations avec des Fractions
Pour les équations contenant des fractions, il est souvent utile de multiplier chaque terme par le dénominateur commun pour éliminer les fractions. Par exemple, résoudre (x/3) + 2 = 5 implique de multiplier chaque côté par 3, donnant x + 6 = 15, puis x = 9 après soustraction de 6.
Équations avec des Racines et Puissances
Les inconnues sous forme de racines demandent à être transformées par équations après élévation aux puissances appropriées. Pour x^(1/3) = 4, on élève chaque côté au cube, résultant en x = 64.
A retenir :
Isoler une inconnue dans une équation est une compétence clé en mathématiques, requérant la maîtrise des opérations de base pour manipuler une équation tout en gardant l'égalité intacte. Les techniques varient selon le type d'équation, qu'elle soit linéaire, quadratique, rationnelle ou impliquant des puissances et racines. Comprendre comment appliquer ces manipulations méthodiquement permet de résoudre les équations et de découvrir les valeurs des inconnues, essentielles pour progresser dans l'étude des mathématiques.
