Définition
Intervalle
Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes données. Les bornes peuvent être incluses ou non dans l'intervalle.
Borne inférieure et borne supérieure
La borne inférieure est la valeur la plus petite d'un intervalle, tandis que la borne supérieure est la valeur la plus grande.
Intervalle ouvert
Un intervalle ouvert ne comprend pas ses bornes. Il est noté (a, b), ce qui signifie que l'ensemble contient tous les nombres réels x tels que a < x < b.
Intervalle fermé
Un intervalle fermé comprend ses bornes. Il est noté [a, b], ce qui signifie que l'ensemble contient tous les nombres réels x tels que a ≤ x ≤ b.
Intervalle semi-ouvert
Un intervalle semi-ouvert contient l'une de ses bornes mais pas l'autre. Il est noté [a, b) ou (a, b], selon la borne qui est incluse.
Intervalle infini
Un intervalle peut être infini à gauche, à droite ou des deux côtés. Par exemple, [a, ∞) inclut tous les réels x tels que x ≥ a.
Notations et Représentations
Les intervalles peuvent être notés de différentes manières en fonction de leurs caractéristiques : les intervalles ouverts, fermés et semi-ouverts. Il est essentiel de comprendre comment traduire ces notations en représentations graphiques et vice-versa.
Opérations sur les Intervalles
Les opérations sur les intervalles incluent l'union, l'intersection et la différence entre intervalles. Par exemple, l'intersection de [1, 3] et [2, 4] est [2, 3].
L'union des intervalles est l'ensemble de tous les nombres qui appartiennent à l'un ou l'autre des intervalles considérés. Un exemple d'union serait l'ensemble [1, 3] ∪ [2, 5] = [1, 5].
Propriétés des Intervalles
Les intervalles ont des propriétés fondamentales : ils sont convexes, c’est-à-dire que pour deux points dans l'intervalle, tous les points situés entre ces deux points sont également dans l'intervalle. Un intervalle fermé est compact, tandis qu'un intervalle ouvert ne l'est pas.
Utilisations des Intervalles
Les intervalles sont largement utilisés en mathématiques pour spécifier les domaines de définition des fonctions, pour définir des régions d'intégration en calcul intégral, et en statistiques pour les intervalles de confiance.
A retenir :
Les intervalles sont des ensembles de nombres réels délimités par deux bornes. Ils peuvent être ouverts, fermés ou semi-ouverts et peuvent être représentés de différentes manières. Les opérations d'union et d'intersection permettent de combiner ou comparer différents intervalles. Les intervalles sont des concepts fondamentaux dans de nombreux domaines des mathématiques, tels que l'analyse et les probabilités.