Définition
Fonction polynôme du second degré
Une fonction polynôme du second degré est une fonction qui peut s'exprimer sous la forme f(x) = ax^2 + bx + c, où a, b, et c sont des constantes réelles et a ≠ 0.
Parabole
La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré est une parabole. Celle-ci est tournée vers le haut si a > 0 et vers le bas si a < 0.
Sommet de la parabole
Le sommet de la parabole est le point où la fonction atteint un extremum (maximum ou minimum). Ses coordonnées sont données par S(-b/2a, f(-b/2a)).
Discriminant
Le discriminant d'une fonction polynôme du second degré, noté Δ, est calculé par Δ = b^2 - 4ac. Il permet de déterminer le nombre de racines réelles de l'équation ax^2 + bx + c = 0.
Forme canonique d'une fonction polynôme du second degré
Une fonction polynôme du second degré f(x) = ax^2 + bx + c peut également être exprimée sous la forme canonique : f(x) = a(x - α)^2 + β. Dans cette forme, α et β sont calculés à partir des coefficients a, b, et c. Plus précisément, α = -b/2a et β = f(α). La forme canonique permet une lecture directe des coordonnées du sommet de la parabole, qui est S(α, β).
Racines d'une fonction polynôme du second degré
Le nombre de racines réelles d'une fonction polynôme du second degré dépend du signe du discriminant Δ = b^2 - 4ac :
- Si Δ > 0, l'équation ax^2 + bx + c = 0 a deux racines réelles distinctes, données par : x_1 = (-b + √Δ)/(2a) et x_2 = (-b - √Δ)/(2a).
- Si Δ = 0, l'équation a une unique racine réelle (appelée racine double) : x = -b/(2a).
- Si Δ < 0, l'équation n'a pas de racine réelle.
Variation d'une fonction polynôme du second degré
La fonction f(x) = ax^2 + bx + c présente des variations qui dépendent du signe du coefficient a :
- Si a > 0 : La fonction est décroissante sur l'intervalle ]-∞, -b/(2a)] et croissante sur [-b/(2a), +∞[. Le sommet de la parabole est un minimum.
- Si a < 0 : La fonction est croissante sur ]-∞, -b/(2a)] et décroissante sur [-b/(2a), +∞[. Le sommet de la parabole est un maximum.
Application des fonctions polynômes du second degré
Les fonctions polynômes du second degré apparaissent dans de nombreuses applications pratiques, telles que l'analyse des trajectoires paraboliques en physique, le calcul de zones optimales en économie, et d'autres modèles mathématiques et statistiques. La capacité de modéliser des phénomènes quadratiques les rend particulièrement utiles dans ces domaines.
A retenir :
Les fonctions polynômes du second degré, de la forme f(x) = ax^2 + bx + c, ont des caractéristiques distinctives telles que les sommets de paraboles et les discriminants, influençant la nature et le nombre de racines. La compréhension de leurs variations, déterminées par le signe du coefficient a, est essentielle pour de nombreuses applications scientifiques et économiques.
