Définition
Triangle rectangle
Un triangle qui a un angle droit (90 degrés).
Hypoténuse
Le côté opposé à l'angle droit dans un triangle rectangle. C'est le plus long côté du triangle rectangle.
Les côtés adjacents
Les deux côtés qui forment l'angle droit dans un triangle rectangle.
Égalité de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Formellement, si c est l'hypoténuse et a et b sont les deux autres côtés, alors c² = a² + b².
Preuves de l'Égalité de Pythagore
L'Égalité de Pythagore a plusieurs preuves diverses. Une preuve géométrique classique utilise la réorganisation de plusieurs triangles identiques pour illustrer que l'aire totale des petits carrés construits sur les côtés adjacents est égale à l'aire du plus grand carré construit sur l'hypoténuse. D'autres preuves utilisent des concepts algébriques ou des transformations.
Une preuve par réarrangement consiste à placer quatre triangles identiques à l'intérieur d'un grand carré. Les triangles sont positionnés de manière à former un petit carré intérieur, dont le côté est c, l'hypoténuse. L'espace total du grand carré (dont le côté est a + b) comprend alors à la fois les quatre triangles et le petit carré, montrant ainsi c² = a² + b².
Applications de l'Égalité de Pythagore
L'application la plus courante de l'Égalité de Pythagore se trouve dans les problèmes de calcul qui impliquent la distance dans le plan cartésien. Par exemple, pour calculer la distance entre deux points dans un plan, on utilise la formule dérivée de cette égalité.
Dans la construction et la conception, la règle de l'Égalité de Pythagore est régulièrement utilisée pour s'assurer que les coins sont bien à 90 degrés. Les charpentiers utilisent souvent cette égalité lorsqu'ils vérifient la planéité de leurs travaux.
Égalité de Pythagore dans les dimensions supérieures
La généralisation de l'Égalité de Pythagore passe par le principe du calcul des distances dans les espaces euclidiens à n dimensions. Cette formule est une extension du théorème original, applicable dans des contextes géométriques plus complexes.
Dans l'espace tridimensionnel, par exemple, le calcul de la distance entre deux points (x1, y1, z1) et (x2, y2, z2) s'effectue en utilisant une version étendue : d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²), montrant l'idée d'une 'hypoténuse' dans trois dimensions.
A retenir :
L'Égalité de Pythagore est un principe fondamental en géométrie qui s'applique spécifiquement aux triangles rectangles. Elle implique qu'en connaissant la longueur de deux côtés, on peut toujours calculer la longueur du troisième côté. Cette égalité a des preuves variées et s'applique dans de nombreux domaines, de la géométrie simple au calcul vectoriel en plusieurs dimensions. Son utilité traverse les disciplines, trouvant sa valeur autant dans les concepts mathématiques théoriques que dans les applications pratiques comme la construction et la conception architecturale.
