Un vecteur peut être représenté de diverses manières, mais la façon la plus courante au lycée est la représentation géométrique sous forme de flèche. Cette flèche est dirigée du point origine (souvent noté A) vers le point extrémité (noté B), et on note souvent ce vecteur "\( \vec{AB} \)". Dans le plan, on peut aussi représenter un vecteur par ses composantes, c'est-à-dire par un couple de coordonnées (x, y) qui indiquent le déplacement de l'origine du vecteur vers son extrémité.

### Addition de vecteurs Pour additionner deux vecteurs, il suffit de placer l'origine du second vecteur sur l'extrémité du premier. Le vecteur résultant est celui qui va de l'origine du premier vecteur à l'extrémité du second. Algébriquement, on additionne les composantes correspondantes des deux vecteurs. ### Soustraction de vecteurs La soustraction de vecteurs se fait en ajoutant l'opposé du vecteur à soustraire. L'opposé d'un vecteur a la même norme mais un sens opposé. Algébriquement, on soustrait chaque composante du vecteur à soustraire aux composantes du premier vecteur. ### Produit d'un vecteur par un scalaire Multiplier un vecteur par un scalaire consiste à le mettre à l'échelle. Si le scalaire est positif, le vecteur conserve sa direction mais change de norme; si le scalaire est négatif, le vecteur change de direction.

### Propriétés de base 1. Associativité de l'addition: \( (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) \). 2. Commutativité de l'addition: \( \vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u} \). 3. Élément neutre: Un vecteur ajouté au vecteur nul \( \vec{0} \) donne le vecteur initial: \( \vec{u} + \vec{0} = \vec{u} \). 4. Élément symétrique: Pour chaque vecteur \( \vec{u} \), il existe un vecteur \(-\vec{u} \) tel que \( \vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0} \). ### Propriétés de la multiplication par un scalaire 1. Distributivité par rapport à l'addition des scalaires: \( (c + d) \vec{u} = c\vec{u} + d\vec{u} \). 2. Distributivité par rapport à l'addition des vecteurs: \( c(\vec{u} + \vec{v}) = c\vec{u} + c\vec{v} \). 3. Associativité de la multiplication par un scalaire: \( c(d\vec{u}) = (cd)\vec{u} \). 4. Élément neutre pour la multiplication: \( 1\vec{u} = \vec{u} \).

### Physique et ingénierie Les vecteurs sont des outils essentiels en physique pour représenter des quantités telles que la force, la vitesse, et l'accélération, qui ont toutes une direction et une magnitude. ### Informatique En informatique, les vecteurs sont utilisés pour représenter des données dans la programmation graphique et l'apprentissage automatique. ### Mathématiques Dans le domaine des mathématiques pures, les vecteurs sont cruciaux pour le calcul matriciel, les transformations géométriques, et l'algèbre linéaire.