Un polynôme P(x) de degré n peut être représenté comme : P(x) = a_n * x^n + a_{n-1} * x^{n-1} + ... + a_1 * x + a_0, où a_n, a_{n-1}, ..., a_0 sont les coefficients, et a_n ≠ 0. Le degré du polynôme est n, et a_n est appelé le coefficient dominant. Les variables x sont élevées à des puissances entières non négatives. En général, les coefficients sont des nombres réels ou complexes.

Trouver les racines d'un polynôme consiste à résoudre l'équation P(x) = 0. Chaque racine correspond à un zéro de la fonction polynomiale. Si x = r est une racine de P(x), alors le polynôme peut être factorisé de la forme P(x) = (x - r)Q(x), où Q(x) est un autre polynôme de degré n-1. Les racines peuvent être réelles ou complexes, et certaines peuvent être répétées, ce qui signifie que le polynôme a des racines multiples.

La division euclidienne pour les polynômes est similaire à la division pour les entiers. Si P(x) et D(x) sont deux polynômes, avec le degré de P supérieur ou égal au degré de D, il existe deux polynômes uniques Q(x) et R(x) tels que P(x) = D(x) * Q(x) + R(x), où le degré de R(x) est strictement inférieur à celui de D(x). Q(x) est appelé le quotient, et R(x) le reste. Cette division est fondamentale pour de nombreux algorithmes en modélisation et calcul numérique.

Le développement limité d'une fonction en un point donné est une approximation par un polynôme. Pour une fonction analytique, le développement limité en 0, souvent noté comme série de Taylor en 0, représente la fonction comme une somme infinie de termes dérivés multipliés par les puissances de la variable. Pour un polynôme, il s'agit d'une ré-écriture directe, mais pour une fonction comme e^x ou sin(x), cette série devient une représentation simplifiée utile autour de x = 0.

La formule de Taylor est un outil central en analyse mathématique, permettant l'approximation d'une fonction par un polynôme de Taylor. La formule générale pour le polynôme de Taylor d'une fonction f au point 0, d'ordre n, est donnée par : T_n(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + ... + f^n(0)x^n/n!. Cela facilite l'étude locale des fonctions, en particulier quand il s'agit d'analyser leur comportement autour d'un point donné.