Définition
Limite d'une fonction
La limite d'une fonction f(x) en un point a est la valeur vers laquelle f(x) se rapproche lorsque x s'approche de a.
Limite infinie
On dit qu'une fonction f(x) tend vers l'infini lorsque x tend vers un certain point, si les valeurs de f(x) augmentent ou diminuent sans borne.
Fonction
Une fonction est une relation qui associe à chaque élément d'un ensemble A un élément d'un ensemble B.
Comportement à l'infini et limites
Pour étudier le comportement d'une fonction lorsque la variable tend vers l'infini, on observe les limites en +∞ et en -∞. Par exemple, s'il existe un L tel que f(x) se rapproche indéfiniment de L lorsque x tend vers +∞ ou -∞, alors L est une limite horizontale.
Calcul des limites
Le calcul des limites fait appel à des règles spécifiques. Pour une fonction rationnelle, on divise chacun des termes par la plus haute puissance de x présente dans le dénominateur. Par exemple, pour calculer la limite de (2x^2 + 3x + 1)/(x^2 - x) quand x tend vers l'infini, on divise chaque terme par x^2.
Continuité et limites
Une fonction est continue en un point a si la limite de f(x) quand x tend vers a est égale à f(a). Cela signifie que la fonction ne présente aucune 'rupture' ou 'trou' en ce point.
Cas des fonctions composées
Lorsque nous traitons des fonctions composées, il est souvent nécessaire d'utiliser des théorèmes tels que ceux de composition des limites pour déterminer les comportements des fonctions. Par exemple, si g(x) tend vers b quand x tend vers a, et que f(y) tend vers L quand y tend vers b, alors la fonction composée f(g(x)) tend vers L quand x tend vers a.
Fonctions usuelles et leurs limites
Certaines fonctions usuelles ont des limites bien connues, telles que les fonctions polynomiales, exponentielles et logarithmiques. Par exemple, la fonction exponentielle tend toujours vers l'infini lorsque x tend vers l'infini.
A retenir :
Les limites de fonctions sont essentielles pour comprendre le comportement asymptotique des fonctions. En étudiant les limites, nous pouvons anticiper les tendances et établir la continuité des fonctions, ainsi que composer ces dernières pour examiner des relations complexes.
