Définitions
Définition
Fonction polynôme de degré 2
Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction de la forme f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des constantes et a est différent de zéro.
Discriminant
Le discriminant d'une fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c est Δ = b² - 4ac. Il permet de déterminer le nombre de solutions réelles de l'équation ax² + bx + c = 0.
Équations du second degré
Une équation du second degré est une équation de la forme ax² + bx + c = 0. Elle peut avoir 0, 1 ou 2 solutions réelles, selon la valeur du discriminant Δ = b² - 4ac.
1. Si Δ > 0, l'équation a deux solutions réelles distinctes : x1 = (-b + √Δ) / (2a) et x2 = (-b - √Δ) / (2a).
2. Si Δ = 0, l'équation a une solution réelle double : x = -b / (2a).
3. Si Δ < 0, l'équation n'a pas de solution réelle.
Forme canonique d'une fonction de second degré
La forme canonique d'une fonction f(x) = ax² + bx + c est donnée par f(x) = a(x - α)² + β, où α = -b / (2a) et β = f(α).
Cette forme permet de facilement identifier le sommet de la parabole représentée par la fonction. Le sommet a pour coordonnées (α, β).
Interprétation graphique
La représentation graphique d'une fonction du second degré est une parabole. Le signe du coefficient a détermine l'orientation de la parabole :
1. Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut (concave).
2. Si a < 0, la parabole est tournée vers le bas (convexe).
Le sommet de la parabole est un point crucial qui peut être un minimum (si a > 0) ou un maximum (si a < 0) de la fonction.
Applications des fonctions du second degré
Les fonctions du second degré sont utilisées dans divers domaines tels que la physique pour modéliser la trajectoire des objets en mouvement ou dans l'économie pour représenter des courbes de coût ou de profit.
Comprendre comment résoudre et analyser des fonctions du second degré fournit une base pour étudier des relations plus complexes et pour approcher des problèmes pratiques via leur modélisation.
A retenir :
Le second degré implique une fonction du type ax² + bx + c, caractérisée par son discriminant Δ pour déterminer le nombre de solutions réelles. Sa représentation graphique est une parabole, orientée en fonction du signe de a, et typiquement exprimée sous forme canonique pour en simplifier l'étude. La maîtrise des équations et fonctions du second degré est essentielle dans les applications scientifiques et économiques.
