Définition
Ensemble des Nombres Naturels
L'ensemble des nombres naturels, noté ℕ, est l'ensemble des entiers non négatifs : {0, 1, 2, 3, ...}.
Ensemble des Nombres Entiers
L'ensemble des nombres entiers, noté ℤ, regroupe tous les nombres entiers positifs, négatifs ainsi que le zéro : {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Ensemble des Nombres Rationnels
L'ensemble des nombres rationnels, noté ℚ, est l'ensemble de tous les nombres qui peuvent s'exprimer sous la forme de fractions a/b, où a et b sont des entiers et b ≠ 0.
Ensemble des Nombres Irrationnels
Les nombres irrationnels sont les nombres réels qui ne peuvent pas être écrits sous forme de fraction a/b. Leur développement décimal est non périodique et infini.
Ensemble des Nombres Réels
L'ensemble des nombres réels, noté ℝ, regroupe l'ensemble des nombres rationnels et irrationnels. Tout nombre qui a une représentation décimale est un nombre réel.
Ensemble des Nombres Complexes
L'ensemble des nombres complexes, noté ℂ, est l'ensemble des nombres de la forme a + bi, où a et b sont des nombres réels et i est l'unité imaginaire vérifiant i² = -1.
Les Nombres Naturels et Entiers
Les nombres naturels ℕ sont probablement les premiers que vous avez appris à utiliser. Ces nombres sont utilisés pour compter des objets distincts. L'ensemble des entiers ℤ quant à lui, s'agrandit en incorporant les nombres négatifs. Les entiers sont essentiels lorsque nous voulons compter des éléments au-dessous de zéro, comme les températures hivernales en dessous du point de congélation.
Les Nombres Rationnels et Irrationnels
Les nombres rationnels ℚ comprennent tous les nombres qui peuvent être exprimés comme le quotient de deux entiers. C'est-à-dire, ils peuvent être écrits comme une fraction. Par exemple, 1/2, -4/3, et 5 sont tous des nombres rationnels. En opposition, les nombres irrationnels ne peuvent pas être exprimés ainsi. Les exemples bien connus incluent √2 et π. Ces nombres ont un développement décimal infini et non périodique.
L'Ensemble des Nombres Réels
L'ensemble des nombres réels ℝ est formé par la réunion des nombres rationnels et des nombres irrationnels. Pratiquement, chaque quantité mesurable réelle, telle que la hauteur ou la distance, trouve sa place parmi les réels. Bien que cela puisse sembler exhaustif, toutes les preuves mathématiques ne peuvent pas être réalisées dans le monde des réels, d'où la nécessité de nombres complexes.
L'Ensemble des Nombres Complexes
Les nombres complexes ℂ s'étendent au-delà de l'imaginaire simple en intégrant un nouveau composant, l'unité imaginaire i. Cela permet de résoudre des équations qui n'ont pas de solutions dans les réels, comme x² + 1 = 0. La compréhension des complexes est cruciale dans de nombreux domaines avancés, tels que l'ingénierie électronique et les systèmes dynamiques.
A retenir :
Les familles de nombres forment une hiérarchie imbriquée allant des naturels aux complexes. Chaque ensemble remplit des fonctions spécifiques dans les mathématiques et le monde réel : les naturels et entiers facilitent le comptage et l'ordre, les rationnels et irrationnels offrent une vue détaillée des relations numériques, tandis que les réels compilent une version complète des possibles dans le continu. L'introduction des complexes répond à des défis mathématiques spécifiques, élargissant la portée des solutions disponibles.
