Définition
Fonction de degré 2
Une fonction polynôme de degré 2 est de la forme f(x) = ax² + bx + c où a, b, et c sont des réels et a ≠ 0.
Forme factorisée
La forme factorisée d'une fonction de degré 2 est f(x) = a(x - x₁)(x - x₂) où x₁ et x₂ sont les racines de f(x).
Inéquation
Une inéquation est une expression mathématique où deux éléments sont comparés par un symbole d'inégalité (>, <, ≥, ≤).
Détermination des racines
Pour déterminer les signes d'une fonction du second degré sous forme factorisée, il faut d'abord identifier les racines x₁ et x₂. Ces racines sont les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 0. Elles peuvent être trouvées en résolvant l'équation quadratique ax² + bx + c = 0 en utilisant la formule quadratique ou par factorisation si c'est possible.
Tableau de signe
Une fois que les racines x₁ et x₂ sont trouvées, on construit un tableau de signe pour la fonction f(x) = a(x - x₁)(x - x₂). Ce tableau représente les valeurs que prend f(x) selon les intervalles délimités par les racines.
Résolution d'une inéquation
Type d'inéquation
Pour résoudre une inéquation, on observe la position des racines et le signe de 'a'. Les types d'inéquations les plus courants sont f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ≥ 0, et f(x) ≤ 0. Ces inéquations déterminent pour quelles valeurs de x, la parabole se trouve au-dessus ou en dessous de l'axe des abscisses.
Écartements de solutions
Analysez le tableau de signes pour déterminer les intervalles où la fonction est positive ou négative selon l'inéquation à résoudre. Par exemple, pour f(x) > 0, on choisit les intervalles où le produit des facteurs est positif.
