Définitions
Définition
Forme factorisée
Une expression quadratique est dite sous forme factorisée lorsqu'elle est écrite comme le produit de deux ou plusieurs facteurs de degré un.
Équation du second degré
Une équation du second degré est une équation qui peut être mise sous la forme ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des nombres réels et a ≠ 0.
Racine d'une équation
Une racine d'une équation est une valeur de la variable qui rend l'équation vraie.
La forme factorisée
L'expression quadratique sous forme factorisée prend la forme suivante : a(x - x₁)(x - x₂), où a est un coefficient non nul, et x₁ et x₂ sont les racines de l'équation. Lorsque nous écrivons une équation du second degré sous forme factorisée, nous mettons en évidence ses racines, ce qui permet de résoudre l'équation en trouvant les valeurs de x qui annulent chaque facteur.
Obtention de la forme factorisée
Pour factoriser une équation du second degré, le premier pas consiste à trouver ses racines x₁ et x₂. Cela se fait généralement à l'aide de la formule quadratique : x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Une fois que les racines sont déterminées, l'équation peut être écrite sous forme factorisée comme a(x - x₁)(x - x₂).
Cas particuliers
Dans certains cas, l'équation peut être telle que le discriminant (b² - 4ac) est égal à zéro. Cela signifie que l'équation a une racine double et peut être exprimée comme a(x - x₁)². En cas de discriminant négatif, l'équation n'a pas de racines réelles et ne peut être factorisée avec des nombres réels.
Application de la forme factorisée
L'application de la forme factorisée est surtout utile pour déterminer les points d'intersection d'une parabole avec l'axe des x, représentée graphiquement par l'équation. Cela permet une résolution rapide et intuitive des problèmes associés aux trajectoires et intersections dans le plan cartésien.
Avantages de la forme factorisée
La forme factorisée facilite la compréhension et la résolution graphique des équations quadratiques. Le passage entre la forme développée ax² + bx + c et la forme factorisée a(x - x₁)(x - x₂) rend les propriétés de la parabole plus évidentes, comme son orientation, et ses points d'intersection avec l'axe des x.
A retenir :
La forme factorisée d'une équation du second degré révèle directement les racines de l'équation, ce qui facilite leur résolution et leur interprétation graphique. Elle est obtenue en mettant l'équation sous la forme d'un produit de deux facteurs, ce qui est particulièrement utile pour déterminer les intersections d'une parabole avec l'axe des x.
