La forme développée d'un polynôme du second degré est exprimée sous la forme ax² + bx + c. Cette formule est essentielle pour identifier les coefficients qui déterminent la courbure et l'orientation de la parabole représentée par l'équation quadratique. Le terme ax² est le terme quadratique qui influe sur l'ouverture et la direction de la parabole. Si le coefficient a est positif, la parabole est tournée vers le haut, tandis que si a est négatif, elle est tournée vers le bas. Le terme bx est le terme linéaire qui influe sur la symétrie de la parabole, et c est le terme constant qui correspond au point où la parabole coupe l'axe des y.

Pour convertir une équation quadratique de sa forme développée à sa forme canonique, nous utilisons la méthode de la complétion du carré. Cela implique de réécrire l'expression quadratique en termes d'un carré parfait plus une constante. Ce processus aide à déterminer le sommet de la parabole, représenté par les coordonnées (h, k) dans la forme canonique. Par exemple, pour convertir y = ax² + bx + c en forme canonique : 1. Identifiez le coefficient du terme linéaire (b) et divisez-le par deux, puis élevez le résultat au carré (noté k). 2. Ajoutez et soustrayez cette valeur k dans l'équation. 3. Regroupez les termes pour former un carré parfait et ajustez la constante finale. Comme résultat, vous obtiendrez une équation de la forme a(x-h)² + k.

Les racines d'une équation quadratique, également appelées solutions ou zéros, sont les valeurs de x pour lesquelles ax² + bx + c = 0. Ces solutions peuvent être trouvées en utilisant la formule quadratique : x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a. Selon la valeur du discriminant (Δ = b² - 4ac), une équation quadratique peut avoir deux racines réelles distinctes (Δ > 0), une racine réelle double (Δ = 0), ou deux racines complexes conjuguées (Δ < 0). La forme développée est cruciale pour calculer ce discriminant, qui guide ensuite la résolution de l'équation.

La forme développée d'un polynôme du second degré est utilisée dans de nombreux contextes mathématiques et appliqués. Elle est utile pour analyser les propriétés des fonctions quadratiques, telles que l'orientation et la largeur de la parabole. En physique et en ingénierie, ces fonctions modélisent une variété de phénomènes comme la trajectoire des projectiles. En économie, les fonctions quadratiques peuvent décrire des courbes de coût et de profit. La compréhension et l'utilisation de la forme développée facilitent les calculs nécessaires pour ces analyses.