Définition
Fonction affine
Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des réels. La variable a représente la pente de la droite, tandis que b est l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire le point où la droite coupe l'axe des ordonnées.
Fonction quadratique
Une fonction quadratique est une fonction de la forme f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des réels avec a ≠ 0. La représentation graphique d'une fonction quadratique est une parabole qui peut être tournée vers le haut ou vers le bas selon le signe de a.
Fonction dépendante
Une fonction dépendante est une fonction dont la valeur dépend d'une ou plusieurs variables d'entrée. Par exemple, dans une fonction u = f(x, y), u est dépendant de x et y.
1. Les fonctions affines
Les fonctions affines sont souvent utilisées pour modéliser des situations où il y a une relation proportionnelle entre deux grandeurs. Par exemple, si l'on veut représenter le coût d'achats en fonction du nombre d'unités achetées, où chaque unité a un prix fixe, la relation est linéaire et peut être décrite par une fonction affine. La pente (a) indique la variation du coût par rapport au nombre d'unités, tandis que l'ordonnée à l'origine (b) représente le coût initial sans aucune unité achetée. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite. On peut déterminer les zéro de la fonction (quand f(x)=0) pour identifier les points d'intersection avec l'axe des abscisses.
2. Les fonctions quadratiques
Les fonctions quadratiques, quant à elles, ont des propriétés distinctes. Leur forme graphique, une parabole, est souvent utilisée pour modéliser des phénomènes comme le mouvement des projectiles, où la hauteur d'un objet en fonction du temps suit une trajectoire quadratique. Le coefficient a détermine l'ouverture de la parabole : si a > 0, la parabole s'ouvre vers le haut, sinon elle s'ouvre vers le bas. Le sommet de la parabole, qui est un point critique, permet de déterminer le maximum ou le minimum de la fonction, selon son ouverture. On peut également identifier les racines de la fonction en résolvant l'équation quadratique associée, ce qui donne les points où la parabole croise l'axe des abscisses.
3. Application des fonctions de référence
Les fonctions affines et quadratiques sont souvent combinées dans divers problèmes mathématiques. Par exemple, un problème de maximisation peut nécessiter l'utilisation d'une fonction quadratique pour déterminer le point où une certaine condition est satisfaite, tandis que des fonctions affines peuvent être utilisées pour modéliser des contraintes linéaires. Les étudiants doivent apprendre à distinguer ces fonctions et à savoir quels outils mathématiques utiliser pour les analyser. Les dérivées, par exemple, sont souvent utilisées pour trouver les extrema des fonctions quadratiques, tandis que la simple substitution est suffisante pour les fonctions affines.
A retenir :
En résumé, les fonctions de référence telles que les fonctions affines et quadratiques jouent un rôle central dans les mathématiques de niveau lycée. Elles sont essentielles pour modéliser des situations réelles et pour résoudre des problèmes complexes. Comprendre leur forme, leurs propriétés et comment les appliquer est crucial pour réussir en mathématiques et pour progresser vers des concepts plus avancés.
