Définitions
Définition
Valeur absolue
La valeur absolue d'un nombre réel x, notée |x|, est la distance entre x et zéro sur une droite numérique. Autrement dit, |x| = x si x ≥ 0 et |x| = -x si x < 0.
Fonction
Une fonction est une relation entre un ensemble d'entrée (appelé domaine) et un ensemble de sortie (appelé codomaine) où chaque élément de l'ensemble d'entrée est lié à exactement un élément de l'ensemble de sortie.
Propriétés de la fonction valeur absolue
La fonction valeur absolue est notée f(x) = |x|. Elle est définie pour tous les x appartenant à R. La courbe de cette fonction admet une symétrie axiale par rapport à l'axe des y. La fonction valeur absolue est paire, ce qui signifie que f(x) = f(-x) pour tout x dans R.
Établir le tableau de signes
Pour une fonction définie par plusieurs expressions en fonction de x, un tableau de signes permet de déterminer sur quels intervalles la fonction est positive, négative, ou nulle. Pour f(x) = |x|, nous avons : f(x) ≥ 0, car |x| représente une distance qui ne peut être négative. La seule valeur pour laquelle f(x) = 0 est x = 0.
Établir le tableau de variation
Un tableau de variation indique les intervalles de croissance et de décroissance d'une fonction. Pour la fonction valeur absolue, lorsque x < 0, la fonction est décroissante car f(x) = -x, et lorsqu'elle passe à x ≥ 0, elle devient croissante car f(x) = x.
Applications de la fonction valeur absolue
Les fonctions de valeur absolue sont couramment utilisées pour définir des distances dans le calcul des erreurs, en programmation pour gérer les valeurs positives uniquement, et en géométrie analytique pour définir des formes telles que des losanges ou des carrés dans un plan cartésien.
Étude graphique de la fonction valeur absolue
Le graphe de la fonction |x| est une 'V' qui s'ouvre vers le haut. Le sommet se situe à l'origine (0,0). Pour une fonction g(x) = a|x| + b, le graphe peut être déplacé le long de l'axe des y selon la valeur de b et peut s'ouvrir plus vite ou moins vite selon le coefficient a.
A retenir :
La fonction valeur absolue, définie par f(x) = |x|, est une fonction de symétrie par rapport à l'axe des y, et se traduit graphiquement par une courbe en forme de V. Elle est toujours positive ou nulle et atteint le zéro en x = 0. En construisant des tableaux de signes et de variation, nous pouvons facilement déterminer les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante. Cette fonction a de nombreuses applications pratiques, particulièrement dans le domaine des mesures et de la géométrie.
