Définitions
Définition
Ensemble
Un ensemble est une collection d'objets ou d'éléments distincts, considérés en tant qu'objets en eux-mêmes. En mathématiques, un ensemble est souvent utilisé pour regrouper des nombres ou d'autres éléments qui partagent une propriété commune.
Nombre réel
Un nombre réel est un type de nombre qui inclut à la fois les nombres rationnels et irrationnels. Les nombres réels peuvent être représentés sur une droite numérique continue et comprennent les entiers, les fractions et les racines non parfaites.
Intervalle
En mathématiques, un intervalle est un ensemble de nombres réels situé entre deux bornes, qui peuvent être incluses ou exclues. Les intervalles sont souvent utilisés pour décrire des sous-ensembles de la droite numérique.
Les Ensembles de Nombres
Les ensembles de nombres sont une façon de classer les différents types de nombres selon leurs propriétés. Parmi les ensembles les plus couramment utilisés au lycée, on trouve les ensembles des entiers naturels (ℕ), les entiers relatifs (ℤ), les rationnels (ℚ), les réels (ℝ) et les complexes (ℂ). Chacun de ces ensembles est défini par des propriétés distinctes et sert à différents types de calculs et d'analyses en mathématiques.
L'Ensemble des Nombres Réels (ℝ)
L'ensemble des nombres réels (ℝ) est l'un des ensembles de nombres les plus fondamentaux en mathématiques. Ils englobent à la fois les nombres rationnels, qui peuvent être exprimés sous la forme d'une fraction de deux entiers, et les nombres irrationnels, qui ne peuvent pas être écrits sous forme de fraction. Les nombres réels peuvent être positifs, négatifs ou nuls, et leur représentation graphique correspond à une droite continue sans interruption.
Classification des Nombres Réels
Pour mieux comprendre l'ensemble des nombres réels, il est souvent divisé en sous-catégories :
- Les nombres entiers : Ce sont tous les nombres naturels (0, 1, 2, ...) ainsi que leurs opposés négatifs (-1, -2, ...).
- Les nombres rationnels : Ce sont les nombres qui peuvent être exprimés comme le quotient de deux entiers. Par exemple, 1/2 et -3 sont des rationnels.
- Les nombres irrationnels : Ces nombres ne peuvent pas être écrits comme une simple fraction. Exemples : π (Pi) et √2 (racine carrée de 2).
Intervalles et Droite Numérique
En mathématiques, les intervalles sur la droite numérique sont utilisés pour représenter une collection de nombres réels entre deux points donnés. Les types d'intervalles incluent :
- Intervalles ouverts : Ils ne contiennent pas leurs bornes. Noté (a, b), il inclut tous les nombres entre a et b, mais pas a et b eux-mêmes.
- Intervalles fermés : Contiennent leurs bornes. Noté [a, b], il inclut a, b et tous les nombres entre eux.
- Intervalles semi-ouverts ou semi-fermés : Ils contiennent une seule de leurs bornes, par exemple, [a, b) inclut a mais pas b.
A retenir :
Pour résumer, les nombres réels englobent les nombres rationnels et irrationnels et sont représentés sur une droite numérique continue. L'ensemble des nombres réels ℝ est ainsi une composante fondamentale des mathématiques. Les intervalles, qu'ils soient ouverts, fermés ou mixtes, permettent la représentation de groupes de nombres réels entre deux bornes et sont essentiels pour explorer la notion de continuité et d'analyse mathématique.
