Nombres réels
Définition
Ensemble des nombres réels
L'ensemble des nombres réels, noté ℝ, est l'ensemble de tous les nombres qui peuvent être représentés sur la droite numérique.
Nombre rationnel
Un nombre rationnel est un nombre qui peut être exprimé sous la forme d'une fraction a/b, où a et b sont des entiers et b ≠ 0.
Nombre irrationnel
Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas être écrit sous la forme d'une fraction de deux entiers. Les exemples incluent le nombre π et √2.
Densité des rationnels
L'ensemble des nombres rationnels est dense dans l'ensemble des réels, ce qui signifie que, pour tout nombre réel donné, il existe un nombre rationnel arbitrairement proche de ce nombre.
Propriétés des nombres réels
Les nombres réels possèdent plusieurs propriétés fondamentales qui sont essentielles pour le développement de l'analyse mathématique. Parmi ces propriétés, on trouve l'ordre total, la propriété de borne supérieure et l'Archimédianité.
Structure des réels
Définition
Ordre total
L'ensemble des réels est un ensemble totalement ordonné, ce qui signifie que, pour tous nombres réels a et b, on a soit a < b, a = b, soit a > b.
Propriété de borne supérieure
Tout ensemble non vide de réels qui est majoré possède une borne supérieure dans ℝ.
Archimédianité
La propriété archimédienne des réels indique qu'il n'y a pas de réel infiniment grand ou infiniment petit par rapport aux entiers.
Intervalles réels
Les intervalles réels sont des sous-ensembles majeurs dans l'analyse. Ils conviennent pour séparer les réels et permettent de travailler sur des portions définies de la droite numérique. On distingue les intervalles fermés, ouverts, et semi-ouverts.
Définition
Intervalle fermé
Un intervalle fermé entre deux réels a et b est noté [a, b] et inclut tous les nombres x tels que a ≤ x ≤ b.
Intervalle ouvert
Un intervalle ouvert entre deux réels a et b est noté (a, b) et contient tous les nombres x tels que a < x < b.
Intervalle semi-ouvert
Un intervalle est semi-ouvert s'il est fermé d'un côté et ouvert de l'autre. Il est noté [a, b) ou (a, b].
Complétude des réels
Une propriété clé des réels est leur complétude. Elle garantit que tout Cauchy dont les termes diminuent en distance finit par converger dans les réels, ce qui n'est pas le cas dans les nombres rationnels.
Définition
Séquence de Cauchy
Une séquence de Cauchy est une séquence où, pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que, pour tous entiers m, n > N, la valeur absolue de la différence entre les termes m et n est inférieure à ε.
A retenir :
Les nombres réels forment un ensemble riche et important en mathématiques, caractérisé par des propriétés telles que l'ordre total, la complétude, et la densité des rationnels. Ils sont structurés en intervalles qui permettent une manipulation efficace des sous-ensembles de réels. La compréhension de ces propriétés est fondamentale pour l'étude en profondeur de l'analyse mathématique, constituant une base solide pour la suite des chapitres.
