Définition
Trigonométrie
Une branche des mathématiques qui étudie les relations entre les longueurs des côtés et les angles des triangles.
Valeur exacte
La valeur précise d'une fonction trigonométrique pour certains angles qui peuvent être exprimés sans approximation sous forme de racines carrées et fractions.
Les Fonctions Trigonométriques
Les fonctions trigonométriques principales sont le sinus (sin), le cosinus (cos), et la tangente (tan). Ces fonctions associent à un angle donné une valeur numérique précise, qui peut être une valeur exacte pour certains angles comme 0°, 30°, 45°, 60°, et 90°. Pour simplifier, les valeurs de ces fonctions s'appuient sur les propriétés des triangles équilatéraux et isocèles.
Les Angles Remarquables
Les angles remarquables sont les angles pour lesquels nous pouvons déterminer des valeurs exactes facilement. Les plus souvent utilisés sont 0°, 30°, 45°, 60°, et 90°. À partir de ces angles, nous pouvons déduire les valeurs exactes des fonctions trigonométriques principales.
Récapitulatif des Valeurs Exactes
Pour l'angle de 0° :
sin(0°) = 0
cos(0°) = 1
tan(0°) = 0
Pour l'angle de 30° :
sin(30°) = 1/2
cos(30°) = √3/2
tan(30°) = 1/√3
Pour l'angle de 45° :
sin(45°) = √2/2
cos(45°) = √2/2
tan(45°) = 1
Pour l'angle de 60° :
sin(60°) = √3/2
cos(60°) = 1/2
tan(60°) = √3
Pour l'angle de 90° :
sin(90°) = 1
cos(90°) = 0
tan(90°) est indéfinie.
sin(0°) = 0
cos(0°) = 1
tan(0°) = 0
Pour l'angle de 30° :
sin(30°) = 1/2
cos(30°) = √3/2
tan(30°) = 1/√3
Pour l'angle de 45° :
sin(45°) = √2/2
cos(45°) = √2/2
tan(45°) = 1
Pour l'angle de 60° :
sin(60°) = √3/2
cos(60°) = 1/2
tan(60°) = √3
Pour l'angle de 90° :
sin(90°) = 1
cos(90°) = 0
tan(90°) est indéfinie.
Calcul des Valeurs Exactes
Les valeurs exactes peuvent être obtenues à partir des propriétés géométriques des triangles. Par exemple, le triangle équilatéral permet de déduire que pour un angle de 30°, le côté opposé à l'angle est exactement la moitié de l'hypoténuse, d'où sin(30°) = 1/2. Pour un triangle isocèle avec un angle de 45°, les deux côtés opposés égaux signifient que sin(45°) et cos(45°) sont égaux, correspondant à √2/2.
Conséquences et Applications
La connaissance des valeurs exactes est cruciale dans de nombreux contextes mathématiques, allant de la simplification d'expressions trigonométriques à la résolution d'équations et à la modélisation de phénomènes périodiques comme le son et la lumière. Ces valeurs sont également fondamentales dans les calculs géométriques et les transformations dans le plan.
A retenir :
La trigonométrie est essentielle pour comprendre les relations entre angles et longueurs dans les triangles. Les valeurs exactes des fonctions trigonométriques pour les angles remarquables permettent des calculs précis et simplifiés. En terminale, maîtriser ces concepts aide à naviguer entre théorie et application dans divers domaines scientifiques et mathématiques.
