Définition
Puissance d'un nombre
La puissance d'un nombre est le résultat de la multiplication répétée de ce nombre par lui-même. Elle s'écrit sous la forme a^n, où a est la base et n est l'exposant.
Exposant
L'exposant est le nombre de fois que la base est multipliée par elle-même.
Base
La base est le nombre qui est multiplié par lui-même dans une expression de puissance.
Puissance de 10
Une puissance de 10 est une expression sous la forme 10^n qui sert à simplifier l'écriture des grands nombres.
Les propriétés des puissances
Les puissances obéissent à plusieurs propriétés qui facilitent les calculs. Ces propriétés concernent les opérations de multiplication, division, ainsi que les puissances de puissances.
Pouvoir multiplicatif
Lorsqu'on multiplie des puissances de même base, on additionne leurs exposants : a^m * a^n = a^(m+n). Par exemple, 3^2 * 3^3 = 3^(2+3) = 3^5.
Pouvoir diviseur
Lorsqu'on divise des puissances de même base, on soustrait leurs exposants : a^m / a^n = a^(m-n). En prenant un exemple, 5^4 / 5^2 = 5^(4-2) = 5^2.
Puissance d'une puissance
Lorsque l'on élève une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants entre eux : (a^m)^n = a^(m*n). Par exemple, (2^3)^2 = 2^(3*2) = 2^6.
Puissance zéro et puissance négative
La puissance zéro de n'importe quel nombre sauf zéro est 1 : a^0 = 1 pour a ≠ 0. Une puissance négative inverse la base et change l'exposant en positif : a^(-n) = 1/a^n. Par exemple, 5^-2 = 1/5^2 = 1/25.
Application des puissances : notation scientifique
Les puissances de 10 sont particulièrement utiles pour exprimer des grands et petits nombres en notation scientifique. Un nombre comme 300 000 peut être écrit 3 x 10^5, tandis qu'un petit nombre comme 0,000006 peut être écrit 6 x 10^-6.
Calcul numérique et approximation
Les puissances permettent de simplifier les calculs numériques, en particulier lorsqu'il s'agit d'estimer rapidement des ordres de grandeur. Par exemple, pour approximer la valeur de 2^10, on peut se souvenir que 2^10 ≈ 10^3, car 2^10 = 1024 qui est proche de 1000.
A retenir :
Les puissances sont des expressions mathématiques facilitant la multiplication répétée d'un nombre par lui-même, exprimée via une base et un exposant. Les principales propriétés incluent l'addition et la soustraction des exposants lors des opérations de multiplication et de division ainsi que la multiplication des exposants pour les puissances de puissances. Les puissances zéro et négatives ajoutent davantage de flexibilité aux calculs. Par ailleurs, elles sont indispensables pour la notation scientifique, simplifiant l'expression des grands et petits nombres, et aident à l'approximation numérique dans divers contextes.
