Définition
Polynôme du second degré
Un polynôme du second degré est une expression algébrique sous la forme f(x) = ax^2 + bx + c où a, b et c sont des coefficients réels, et a est différent de zéro.
Discriminant
Le discriminant est une valeur calculée à partir des coefficients d'un polynôme du second degré, notée Δ = b^2 - 4ac. Il permet de déterminer le nombre et le type de racines du polynôme.
Racines d'un polynôme
Les racines d'un polynôme du second degré sont les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 0. Elles peuvent être trouvées en utilisant la formule quadratique dépendante du discriminant.
Forme canonique
La forme canonique d'un polynôme du second degré est une manière de le réécrire pour mettre en évidence son sommet et son ouverture. Elle s'écrit sous la forme f(x) = a(x - α)^2 + β où (α, β) est le sommet de la parabole représentée par le polynôme. Pour obtenir la forme canonique à partir de f(x) = ax^2 + bx + c, on utilise le calcul d'α = -b/(2a) et β = f(α).
Racines réelles et complexes
La détermination des racines d'un polynôme du second degré dépend du signe du discriminant Δ:
- Si Δ > 0, le polynôme a deux racines réelles et distinctes, données par x1 = (-b + √Δ) / (2a) et x2 = (-b - √Δ) / (2a).
- Si Δ = 0, le polynôme a une racine réelle double, donnée par x = -b / (2a).
- Si Δ < 0, le polynôme a deux racines complexes conjuguées, notées x1 = (-b + i√|Δ|) / (2a) et x2 = (-b - i√|Δ|) / (2a).
Sommet d'une parabole
Le sommet de la parabole représentée par un polynôme du second degré f(x) = ax^2 + bx + c est un point crucial qui peut être calculé avec les formules α = -b/(2a) pour l'abscisse du sommet et β = f(α) pour l'ordonnée du sommet. Le sommet indique le point le plus bas d'une parabole ouverte vers le haut (a > 0) ou le plus haut d'une parabole ouverte vers le bas (a < 0).
Applications pratiques
Les polynômes du second degré modélisent de nombreux phénomènes du monde réel, tels que le tir parabolique en physique, l'optim...
