Définition
Logarithme
Le logarithme est une fonction mathématique qui est l'inverse de l'exponentiation. Pour un nombre réel positif x et une base b (avec b > 0, b ≠ 1), le logarithme de x en base b est noté log_b(x).
Logarithme naturel
Le logarithme naturel est le logarithme en base e, où e est le nombre d'Euler (environ 2,71828). Il est noté ln(x).
Logarithme décimal
Le logarithme décimal est le logarithme en base 10. Il est noté log(x) ou log_{10}(x).
Propriétés des logarithmes
Propriété fondamentale
La propriété fondamentale des logarithmes est que si b^y = x, alors log_b(x) = y. Cela signifie que le logarithme est l'exposant auquel la base doit être élevée pour obtenir x.
Propriétés algébriques
1. Produit : log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y). Cette propriété montre que le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes.
2. Quotient : log_b(x/y) = log_b(x) - log_b(y). Cette propriété indique que le logarithme d'un quotient est la différence des logarithmes.
3. Puissance : log_b(x^a) = a * log_b(x). Cela montre que le logarithme d'une puissance est le produit de l'exposant par le logarithme de la base.
Changement de base
La formule de changement de base permet de calculer le logarithme dans une base non standard. Elle est donnée par : log_b(x) = log_k(x) / log_k(b), où k est une base choisi.
Applications des logarithmes
Résolution d'équations exponentielles
Les logarithmes sont utilisés pour résoudre des équations exponentielles. Par exemple, pour résoudre l'équation 2^x = 8, on peut prendre le logarithme de chaque côté avec la même base pour obtenir x * log(2) = log(8), puis isoler x.
Calcul de pH en chimie
En chimie, le pH est calculé à l'aide du logarithme décimal : pH = -log[H+], où [H+] est la concentration en ions hydrogène. Cela montre comment les logarithmes sont utilisés pour simplifier des calculs qui pourraient être complexes autrement.
A retenir :
En résumé, les logarithmes sont des outils puissants en mathématiques, servant principalement à inverser l'exponentiation. Les propriétés fondamentales et algébriques des logarithmes facilitent la résolution de différentes équations et simplifient les calculs, notamment dans les sciences physiques et la chimie. Les deux types les plus courants de logarithmes sont le logarithme naturel et le logarithme décimal, chacun ayant ses propres applications spécifiques.
