Fiche de Révisions : L'Arithmétique

1. Les Nombres Entiers ( Z\mathbb{Z}

Z )

• Nombres entiers : Comprennent les entiers positifs, négatifs et zéro.
• Exemples : −3,−2,−1,0,1,2,3-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
• −3,−2,−1,0,1,2,3

2. Les Nombres Naturels ( N\mathbb{N}

N )

• Nombres naturels : Ce sont les nombres utilisés pour compter.
• Soit N={0,1,2,3,… }\mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, 3, \dots \}
• N={0,1,2,3,…} ou N={1,2,3,… }\mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, \dots \}
• N={1,2,3,…} (si on exclut zéro).

3. Les Opérations de Base

Addition ( ++

+ )

• Règle : Additionner deux nombres revient à combiner leurs valeurs.
• Exemple : 3+5=83 + 5 = 8
• 3+5=8
• Propriétés :
• Commutativité : a+b=b+aa + b = b + a
• a+b=b+a
• Associativité : (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c)
• (a+b)+c=a+(b+c)
• Élément neutre : a+0=aa + 0 = a
• a+0=a

Soustraction ( −-

− )

• Règle : Soustraire un nombre revient à retirer une valeur d’une autre.
• Exemple : 7−2=57 - 2 = 5
• 7−2=5
• Propriétés :
• Non-commutativité : a−b≠b−aa - b \neq b - a
• a−b
• =b−a
• Non-associativité : (a−b)−c≠a−(b−c)(a - b) - c \neq a - (b - c)
• (a−b)−c
• =a−(b−c)

Multiplication ( ×\times

× )

• Règle : Multiplier un nombre revient à l'ajouter plusieurs fois.
• Exemple : 2×4=82 \times 4 = 8
• 2×4=8
• Propriétés :
• Commutativité : a×b=b×aa \times b = b \times a
• a×b=b×a
• Associativité : (a×b)×c=a×(b×c)(a \times b) \times c = a \times (b \times c)
• (a×b)×c=a×(b×c)
• Distributivité : a×(b+c)=a×b+a×ca \times (b + c) = a \times b + a \times c
• a×(b+c)=a×b+a×c
• Élément neutre : a×1=aa \times 1 = a
• a×1=a

Division ( ÷\div

÷ )

• Règle : Diviser revient à partager une quantité.
• Exemple : 12÷4=312 \div 4 = 3
• 12÷4=3
• Propriétés :
• Non-commutativité : a÷b≠b÷aa \div b \neq b \div a
• a÷b
• =b÷a
• Non-associativité : (a÷b)÷c≠a÷(b÷c)(a \div b) \div c \neq a \div (b \div c)
• (a÷b)÷c
• =a÷(b÷c)

4. Divisibilité

• Divisibilité : Un nombre aa
• a est divisible par bb
• b si a÷ba \div b
• a÷b donne un entier.
• Exemple : 18÷6=318 \div 6 = 3
• 18÷6=3 (donc 1818
• 18 est divisible par 66
• 6).

Divisibilité par 2 :

• Un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est pair.
• Exemple : 24,48,6024, 48, 60
• 24,48,60 sont divisibles par 2.

Divisibilité par 3 :

• Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
• Exemple : 123123
• 123, 1+2+3=61 + 2 + 3 = 6
• 1+2+3=6 (divisible par 3).

5. Les Nombres Premiers

• Nombre premier : Un nombre supérieur à 1 qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
• Exemples : 2,3,5,7,11,132, 3, 5, 7, 11, 13
• 2,3,5,7,11,13.

6. Puissances

• Puissance : Une multiplication répétée du même nombre.
• Exemple : 32=3×3=93^2 = 3 \times 3 = 9
• 32
• =3×3=9
• Propriétés :
• a0=1a^0 = 1
• a0
• =1 (pour a≠0a \neq 0
• a
• =0)
• am×an=am+na^m \times a^n = a^{m+n}
• am
• ×an
• =am+n
• (am)n=am×n(a^m)^n = a^{m \times n}
• (am
• )n
• =am×n

7. Racine Carrée

• Racine carrée : Le nombre yy
• y qui, multiplié par lui-même, donne xx
• x.
• Exemple : 9=3\sqrt{9} = 3
• 9
• 
  
• ​=3 (car 32=93^2 = 9
• 32
• =9).
• Racine carrée de 2 : 2\sqrt{2}
• 2
• 
  
• ​ est un nombre irrationnel, car il ne peut pas être écrit comme une fraction simple.

8. Fractions

• Fraction : Une expression sous la forme ab\frac{a}{b}
• 
  
• b
• a
• ​, où aa
• 
  
• a est le numérateur et bb
• 
  
• b est le dénominateur.
• Exemple : 34\frac{3}{4}
• 
  
• 4
• 3
• ​
• Simplification de fractions : Diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
• Exemple : 68=34\frac{6}{8} = \frac{3}{4}
• 
  
• 8
• 6
• ​=4
• 3
• ​

9. Décimaux

• Décimaux : Ce sont des fractions sous forme de base 10.
• Exemple : 0.50.5
• 0.5, 1.751.75
• 1.75, 0.3333…0.3333\ldots
• 0.3333…
• Décimaux récurrents : Un nombre décimal où une partie des chiffres se répète.
• Exemple : 0.3‾=0.3333…0.\overline{3} = 0.3333\ldots
• 
  
• 0.3
• =0.3333….

10. Le PGCD et le PPCM

• PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) : Le plus grand nombre qui divise deux nombres.
• Exemple : Le PGCD de 1212
• 12 et 1818
• 18 est 66
• 6.
• PPCM (Plus Petit Commun Multiple) : Le plus petit nombre qui est un multiple commun des deux nombres.
• Exemple : Le PPCM de 44
• 4 et 55
• 5 est 2020
• 20.