Définition
Identité remarquables
Les identités remarquables sont des égalités mathématiques utiles dans la simplification et le calcul rapide d'expressions algébriques.
Développement
Opération qui consiste à transformer une expression algébrique en une somme ou en un produit de termes.
Le carré d’une somme
L'identité remarquable pour le carré d'une somme est exprimée comme suit : (a + b)² = a² + 2ab + b². Cette formule signifie qu'en prenant le carré de la somme de deux termes, nous obtenons la somme du carré du premier terme, deux fois le produit des deux termes, et le carré du deuxième terme.
Le carré d’une différence
L'identité remarquable pour le carré d'une différence est donnée par (a - b)² = a² - 2ab + b². Lorsque l'on calcule le carré d'une soustraction, on obtient le carré du premier terme, soustrait à deux fois le produit des deux termes, plus le carré du deuxième terme.
Le produit de deux binômes conjugués
Cette identité est exprimée par la formule : (a + b)(a - b) = a² - b². Ces expressions sont appelées 'binômes conjugués', et leur produit est toujours égal à la différence des carrés des deux termes.
Applications des identités remarquables
Les identités remarquables sont particulièrement utiles pour simplifier les expressions algébriques complexes, résoudre les équations quadratiques et faciliter le calcul mental rapide. Elles permettent de transformer des expressions pour rendre les calculs plus simples et d'appliquer des méthodes algébriques efficaces dans la résolution de problèmes.
Exemples concrets
1. Calculer (x + 3)² sans développer : En appliquant (a+b)², on a (x+3)² = x² + 2*x*3 + 3² = x² + 6x + 9.
2. Développer (7 - 4y)² : En utilisant (a-b)², cela donne 7² - 2*7*4y + (4y)² = 49 - 56y + 16y².
3. (x+5)(x-5) donne x² - 25 par l'identité du produit des binômes conjugués.
A retenir :
Les identités remarquables comprennent principalement trois formules : le carré d'une somme, le carré d'une différence et le produit de deux binômes conjugués. Elles servent à simplifier, développer et résoudre des expressions algébriques. La compréhension et l'utilisation efficace de ces identités simplifient considérablement les tâches mathématiques et améliorent les compétences en calcul.
