Définition
Vecteur position
Le vecteur position d'un point M à un instant t est noté et décrit comme la position de M par rapport à un point d'origine O orthonormé
Vecteur vitesse
Le vecteur vitesse VM est la dérivée du vecteur position OM par rapport au temps VM=dOM/dt
Vecteur accélération
Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps aM=dVM/dt
Différents types de mouvements
Les mouvements peuvent être classés en trois grandes catégories :
1. Mouvement rectiligne : la trajectoire est une droite. La vitesse est constante (mouvement uniforme) ou variable (mouvement accéléré ou décéléré).
2. Mouvement circulaire : la trajectoire est un cercle. L'objet peut avoir soit une vitesse constante (mouvement uniforme) soit une vitesse variable (mouvement accéléré).
3. Mouvement curviligne : la trajectoire est quelconque, pas nécessairement une ligne droite ou un cercle.
propriétés du vecteur vitesse
direction : tangeant a la trajectoire
sens : celui du mouvement
valeur : norme du vecteur calculé par : v = vx2+ vy2 + vz2 --> m.s-2
Les vecteurs dans le repère de Frênet
Dans le repère de Frênet, adapté pour décrire le mouvement le long d'une courbe, le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire :
\( \vec{v} = v \cdot \vec{T} \)
Où \( \vec{T} \) est le vecteur unitaire tangent à la trajectoire.
Le vecteur accélération peut être décomposé dans le repère de Frênet en une composante tangentielle \( a_t \) et une composante normale \( a_n \) :
\( \vec{a} = a_t \cdot \vec{T} + a_n \cdot \vec{N} \)
Où \( \vec{N} \) est le vecteur unitaire normal à la trajectoire.
Exemples de mouvements
1. Mouvement rectiligne uniforme : \( \vec{v}(t) = c \cdot \vec{u} \) où \( c \) est une constante et \( \vec{u} \) une direction fixe. \( \vec{a} = \vec{0} \).
2. Mouvement circulaire uniforme : \( \vec{v}(t) = v \cdot \vec{T} \) et \( \vec{a} = \frac{v^2}{r} \cdot \vec{N} \), où \( r \) est le rayon du cercle.
3. Mouvement curviligne quelconque : les vecteurs vitesse et accélération sont variables et s'expriment en fonction de leurs composantes tangentielle et normale.
A retenir :
La description du mouvement repose sur la connaissance des vecteurs position, vitesse et accélération. Selon le type de mouvement (rectiligne, circulaire ou curviligne), ces vecteurs prennent des formes spécifiques. Dans un repère de Frênet, le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire tandis que le vecteur accélération peut être décomposé en composantes tangentielle et normale. Cette étude vectorielle permet de mieux comprendre comment les objets se déplacent dans l'espace.
Représentation vectorielle du mouvement
Pour représenter le mouvement d'un point, on utilise généralement les vecteurs position, vitesse et accélération.
Le vecteur position \( \vec{OM}(t) \) permet de déterminer la position du point M à un instant donné.
Le vecteur vitesse \( \vec{v}(t) \) exprime la rapidité et la direction du mouvement. La dérivée de la position par rapport au temps nous donne ce vecteur.
Le vecteur accélération \( \vec{a}(t) \) décrit le changement de vitesse du point M :
