Soient n ∈ N et p ∈ [0 ; 1]. Une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p si X(Ω) = [0 ; n] et si, pour tout k ∈ [0 ; n], on a P(X = k) = (nk) pk (1 − p)n−k .
On note alors X ֒~> B(n, p)
Définition
variable aléatoire réelle
Lorsqu’à chaque événement élémentaire ω de l’univers on associe un nombre réel, on dit que l’on a défini une variable aléatoire (réelle) qui est donc une fonction X : Ω→ R. X(Ω), appelé l’univers image de X est l’ensemble des valeurs prises par X. Comme Ω est un ensemble fini, X(Ω) est également fini, donc du type X(Ω) = {x1; x2; . . . ; xn}.
Les événements élémentaires de X(Ω) sont notés (X = xi), où 1<= i<= n.
Variance
Soit X une variable aléatoire finie. La variance de X est le nombre V (X) = E(X − (E(X))²
.L’écart-type de X est le nombre σ(X) = racine(V(X))
Esperance
L’espérance de X est définie par :
E(X) = nZi=1 P(X = xi)xi = P(X = x1)x1 + P(X = x2)x2 + · · · + P(X = xn)xn.
Loi certaine
Une variable aléatoire X suit la loi certaine si elle ne prend qu’une seule valeur, c’est à dire si sa loi est donnée par X(Ω) = {a} et P(X = a) = 1, avec a ∈ R. Il n’y pas de notation usuelle pour cette loi.
Loi uniforme finie
Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [1 ; n] si X(Ω) = [1 ; n] et si, pour tout k ∈ [1 ; n], on a P(X = k) = 1/n
. On note alors X ֒~> U([1 ; n])
Loi de Bernoulli
Soit p ∈ [0 ; 1]. Une variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p si X(Ω) = {0; 1}, P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 − p.
On note alors X ֒~> B(p).
Loi binomiale
Variance par Koening-Huygens
|« Koenig-Huygens »] X est une variable aléatoire défini sur un univers fini alors V (X) = E(X² ) − (E(X))²
Proposition de la variance
1. Pour des réels a, b et X admettant une variance : V (aX + b) = a²V(X).
2. V (X) > 0.
3. V (X) = 0 si et seulement si X est constante (certaine).
Loi uniforme finie
Soit n ∈ N ∗ et X ֒~> U([1 ; n]). On a E(X) = (n + 1)/2 et V(X) = (n² − 1)/12 .
Bernoulli
Soit p ∈ [0 ; 1] et X ֒~> B(p). Alors E(X)= p et V(X)= p(1 − p).
Loi binomial
Soient n ∈ N* , p ∈ [0 ; 1] et X ֒~> B(n, p). Alors E(X) = np et V(X) = np(1 − p).
Soient n ∈ N, p ∈ [0 ; 1] et X1, · · · , Xn une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre p. Alors si X = X1 + X2 + · · · + Xn, on a X ֒~> B(n, p)
