Définition
Théorème de Thalès
Si deux droites (d1) et (d2) sont coupées par deux droites parallèles (d3) et (d4), alors les segments définis sur (d1) et (d2) sont proportionnels.
Réciproque du théorème de Thalès
Si les segments définis sur deux droites (d1) et (d2) sont proportionnels et que ces droites sont coupées par deux droites (d3) et (d4), alors (d3) et (d4) sont parallèles.
Segments proportionnels
Deux segments AB et CD sont proportionnels à deux segments EF et GH si \( \frac{AB}{EF} = \frac{CD}{GH} \).
Illustration géométrique
Considérons deux droites \(d\) et \(d'\) coupées par deux droites parallèles \(\Delta\) et \(\Delta'\). Les points d'intersection définissent quatre points : A et B sur \(d\), et C et D sur \(d'\). Selon le théorème de Thalès, nous avons la proportion suivante : \( \frac{AB}{CD} = \frac{AC}{BD} \).
Preuve du théorème de Thalès
Pour démontrer le théorème de Thalès, on utilise des propriétés de similitude des triangles. En considérant les triangles formés par les points d'intersection avec les droites parallèles, on peut démontrer que ces triangles sont similaires. Cela est dû à l'égalité des angles alternes-internes et correspondants.
Réciproque et implications
La réciproque du théorème de Thalès est une conséquence directe de la définition des segments proportionnels. Si les segments définis sur les droites coupées sont proportionnels entre eux, cela implique que les droites qui les coupent sont parallèles. Cela permet de vérifier le parallélisme de deux droites à partir de mesures de segments.
Applications pratiques
Les principes du théorème de Thalès trouvent de nombreuses applications pratiques dans la géométrie, l'architecture et l'ingénierie. Cela inclut la construction de figures géométriques similaires, la vérification de parallélisme dans les structures architecturales et la résolution de problèmes de mesure indirecte où la mesure directe est impossible.
A retenir :
Le théorème de Thalès énonce que si deux droites sont coupées par deux droites parallèles, les segments formés sont proportionnels. Sa réciproque confirme le parallélisme des droites coupantes si les segments sur les droites coupées sont proportionnels. Ce théorème fondamental en géométrie plane se base sur la similitude de triangles et a de nombreuses applications en mathématiques et au-delà.
