Voici une fiche de révision structurée pour bien comprendre le calcul du bénéfice de la fabrication et de la vente de maillots de foot personnalisés.
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Fiche de Révision : Calcul du Bénéfice de la Vente de Maillots
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Contexte du problème
L'entreprise vend des maillots de foot personnalisés.
Le bénéfice est la différence entre la recette (l'argent gagné par la vente des maillots) et le coût (les dépenses liées à la fabrication des maillots).
Formule du Bénéfice
Le bénéfice pour maillots est défini par :
B(x) = R(x) - C(x)
Recette : argent gagné en fonction du nombre de maillots vendus.
Coût : coût de fabrication pour maillots.
Expressions des fonctions
1. Recette : La recette est le produit du prix unitaire du maillot (201 euros) par le nombre de maillots vendus.
R(x) = 201x
2. Coût : Le coût de fabrication des maillots est donné par la formule :
C(x) = x^3 - 30x^2 + 309x + 500
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Étapes du Calcul du Bénéfice
1. Substitution des expressions dans la formule du bénéfice
Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût :
B(x) = R(x) - C(x)
Nous remplaçons les expressions de et :
B(x) = 201x - (x^3 - 30x^2 + 309x + 500)
2. Distribution du signe négatif
Le coût est mis entre parenthèses, ce qui signifie que nous devons distribuer le signe négatif devant chaque terme à l'intérieur de la parenthèse. Cela revient à multiplier chaque terme par -1. Cela donne :
B(x) = 201x - x^3 + 30x^2 - 309x - 500
Explication détaillée de cette étape :
Le terme reste tel quel (pas de signe à distribuer).
provient du ,
provient du , donc le signe devient positif,
provient du ,
provient du .
3. Rassembler les termes similaires
Maintenant, nous devons rassembler les termes qui ont des puissances de identiques. Cela signifie que nous additionnons les termes en , , , et les constantes.
B(x) = -x^3 + 30x^2 + (201x - 309x) - 500
Les termes en sont et . En les additionnant, nous obtenons :
201x - 309x = -108x
Cela donne finalement :
B(x) = -x^3 + 30x^2 - 108x - 500
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Conclusion
Le bénéfice pour la fabrication et la vente de maillots est donc :
B(x) = -x^3 + 30x^2 - 108x - 500
Cela signifie que le bénéfice est une fonction polynomiale qui dépend du nombre de maillots . Le bénéfice varie en fonction de :
Un terme cubique qui diminue le bénéfice pour de grandes quantités de maillots vendus,
Un terme quadratique qui augmente le bénéfice à une certaine échelle,
Un terme linéaire qui réduit le bénéfice au fur et à mesure de la production,
Un coût fixe de euros.
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Exemple Numérique
Imaginons que l'entreprise vende 10 maillots () :
1. Recette :
R(10) = 201 \times 10 = 2010 \, \text{euros}
2. Coût :
C(10) = 10^3 - 30 \times 10^2 + 309 \times 10 + 500 = 1000 - 3000 + 3090 + 500 = 590 \, \text{euros}
3. Bénéfice :
B(10) = R(10) - C(10) = 2010 - 590 = 1420 \, \text{euros}
Ainsi, pour maillots, l'entreprise réalise un bénéfice de 1420 euros.
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