Définition
Mesure
Une mesure est une fonction qui associe un nombre non négatif ou l'infini à certains sous-ensembles d'un ensemble donné qui satisfont certaines conditions axiomatiques.
Tribu
Une tribu sur un ensemble X est une collection de sous-ensembles de X qui est fermée par complémentation et par union dénombrable.
Application mesurable
Une application mesurable entre un espace mesurable et un espace mesurable est une fonction telle que l'image réciproque de tout ensemble mesurable est mesurable.
Mesure positive
Une mesure est dite positive si elle attribue un nombre non négatif à tout ensemble mesurable.
Théorie de la Mesure
La théorie de la mesure est une branche des mathématiques qui étend le concept intuitif de manière à quantifier la 'taille' ou 'volume' d'ensembles de manière rigoureuse. Au cœur de cette théorie se trouve la mesure elle-même, qui assigne à certains sous-ensembles un nombre, en respectant des propriétés telles que l'additivité et la compatibilité avec la limite d'ensembles croissants.
En mathématiques, une structure de tribu est essentielle pour définir une mesure. Prenons un ensemble E, une tribu F sur cet ensemble est une collection de sous-ensembles de E, contenant le vide et stable par complémentation et union dénombrable. Cela permet de former ce qu'on appelle un espace mesurable (E, F).
L'Intégration
L'intégration dans le contexte de la mesure générale est une généralisation du concept d'intégrale défini sur un intervalle de la droite réelle. Une fonction est intégrable lorsque l'on peut calculer sa mesure par rapport à une mesure donnée.
L'intégrale de Lebesgue se distingue de l'intégrale de Riemann par la manière dont les ensembles sont mesurés et dont les sommes infinies sont construites. Pour une fonction mesurable, l'intégrale est bien définie si l'intégrale de sa valeur absolue est finie.
Applications Mesurables
Un des concepts les plus fondamentaux dans cette théorie est celui d'application mesurable. Une fonction est considérée mesurable si l'image réciproque de tout ensemble mesurable de l'espace d'arrivée est mesurable dans l'espace de départ. Cela permet d'étudier des fonctions entre des ensembles abstraits dotés de structures de mesure, ce qui est fondamental pour l'analyse fonctionnelle.
Les applications mesurables jouent un rôle clé dans l'analyse des variables aléatoires, où l'on étend l'intégration et la mesure à des espaces plus généraux et abstraits.
Mesure Positives et Propriétés
La notion de mesure positive est centrale dans la théorie de la mesure. Une mesure positive M attribue un nombre dans R+ (y compris l'infini) à chaque ensemble mesurable A, et respecte les conditions de sigma-additivité telles que M(∅) = 0 et M est croissante.
Cette notion permet de définir précisément l'intégrale de Lebesgue pour des fonctions non nécessairement définies de manière continue, et donne lieu à des théorèmes importants comme celui de Radon-Nikodym, qui traite des dérivées de mesures.
A retenir :
La mesure et l'intégration s'appuient sur des concepts fondamentaux qui sont la mesure elle-même, les tribus assurant la structure mesurable, et les applications mesurables permettant de manipuler fonctionnellement ces ensembles mesurables. L'utilisation des mesures positives garantit que de nombreux théorèmes d'analyse restent valables dans des espaces bien plus abstraits que les réels, élargissant ainsi les horizons de l'analyse mathématique moderne.
