Définition
Factorisation
La factorisation est le processus de décomposition d'une expression en produit de facteurs plus simples.
Forme Canonique
La forme canonique d'une fonction quadratique est exprimée comme f(x) = a(x - h)² + k, où (h, k) est le sommet de la parabole.
Les Techniques de Factorisation
Factorisation par Mise en Évidence
La mise en évidence consiste à exprimer l'expression sous forme de produit en mettant en facteur les termes qui sont communs à toutes les parties de l'expression. Par exemple, pour factoriser l'expression 3x^2 + 6x, on peut mettre en évidence le 3x : 3x(x + 2).
Utilisation de Formules de Factorisation
Il est souvent utile de se rappeler de certaines identités remarquables pour factoriser les expressions plus complexes. Quelques-unes de ces formules incluent :
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a - b)² = a² - 2ab + b²
- a² - b² = (a - b)(a + b).
Factorisation des Trinômes
Pour factoriser un trinôme de la forme ax² + bx + c, on cherche deux nombres dont le produit est ac et la somme est b. On peut alors réécrire le trinôme et factoriser par regroupement. Par exemple, pour factoriser x² + 5x + 6, on trouve (x + 2)(x + 3).
Passage à la Forme Canonique
Complétion du Carré
La technique de complétion du carré permet de transformer une équation quadratique sous une forme plus simple : la forme canonique. Par exemple, pour transformer l'équation y = x² + 6x + 5, on complète le carré pour obtenir la forme canonique y = (x + 3)² - 4.
Rôle des Paramètres dans la Forme Canonique
Dans la forme canonique y = a(x - h)² + k, le paramètre a affecte l'ouverture de la parabole (ouverte vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0), h déplace la parabole le long de l'axe des x, et k la déplace le long de l'axe des y.
A retenir :
La factorisation décompose les expressions en produits de facteurs plus simples, utilisant des techniques comme la mise en évidence, les formules de factorisation et le regroupement de termes. Passer à la forme canonique implique souvent la complétion du carré, ce qui permet d'exprimer les fonctions quadratiques sous une forme simplifiée révélant facilement le sommet de la parabole et d'autres propriétés importantes.
