Définition
Suite numérique
Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels, notée généralement (un)x≥0 ou (un)n∈N, où n représente le rang de l'élément dans la suite.
Suite arithmétique
Une suite arithmétique est une suite numérique dans laquelle chaque terme est égal au précédent augmenté d'une constante appelée raison, notée r. Ainsi, un+1 = un + r.
Suite géométrique
Une suite géométrique est une suite numérique dans laquelle chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une constante appelée raison, notée q. Ainsi, un+1 = un × q.
Suite convergente
Une suite est dite convergente si elle admet une limite finie quand n tend vers l'infini. Autrement dit, les termes de la suite se rapprochent de plus en plus d'un nombre réel L.
Les suites arithmétiques
Les suites arithmétiques sont caractérisées par la présence d'une raison constante r. La formule générale d'une suite arithmétique se définit par : un = u0 + n × r, où u0 est le premier terme de la suite, n est le rang, et r est la raison.
La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique peut être calculée avec la formule : S_n = (n/2) × (u0 + un), où un est le dernier terme à prendre en compte dans la somme et S_n la somme des n premiers termes.
Les suites géométriques
Les suites géométriques ont la particularité d'avoir une raison q constante pour passer d'un terme au suivant. La formule générale d'une telle suite se présente sous la forme : un = u0 × q^n, où u0 est le premier terme et q est la raison.
Pour calculer la somme des n premiers termes d'une suite géométrique, on utilise : S_n = u0 × (1 - q^n) / (1 - q) si q ≠ 1. Cette formule découle du fait que chaque terme est multiplié par q par rapport au précédent.
Suites récurrentes
Les suites récurrentes sont définies à l’aide d’une relation de récurrence qui permet de déterminer le terme (n + 1)-ième en fonction d’un ou plusieurs des termes précédents.
Un exemple classique de suite récurrente est la suite de Fibonacci, définie par les relations : f0 = 0, f1 = 1, et fn = f(n-1) + f(n-2) pour n ≥ 2. Cette suite est connue pour sa propriété de croissance rapide et ses applications dans des domaines variés, comme les mathématiques ou la nature.
Limite et comportement des suites
L'étude de la limite d'une suite permet de comprendre son comportement à long terme. Une suite peut être convergente, divergente, ou ne pas avoir de limite.
- Une suite convergente a une limite finie : cela signifie que les termes de la suite s'approchent de plus en plus d'un certain nombre réel à mesure que n tend vers l'infini. On note lim(n→∞) un = L.
- Une suite divergente ne se rapproche d'aucun nombre réel spécifique. Elle peut tendre vers l'infini (positif ou négatif) ou ne pas avoir de comportement asymptotique défini.
A retenir :
Les suites numériques constituent un concept fondamental en mathématiques, avec des applications dans de nombreux domaines allant de la finance à la physique. Parmi elles, les suites arithmétiques et géométriques sont les plus élémentaires et possèdent des caractéristiques bien définies telles que la raison. Les suites récurrentes offrent des exemples complexes comme la suite de Fibonacci. Comprendre le comportement des suites, notamment leur convergence ou divergence, est essentiel pour analyser les phénomènes qui s'inscrivent dans un cadre séquentiel.
