Définition
Intervalle
Un intervalle est un ensemble de nombres réels situés entre deux bornes (incluses ou non).
Borne
Une borne est une valeur extrême (supérieure ou inférieure) de l'intervalle.
Intervalle ouvert
Un intervalle ouvert ne contient pas ses bornes. Il est noté sous la forme (a, b).
Intervalle fermé
Un intervalle fermé inclut ses bornes, noté sous la forme [a, b].
Intervalle semi-ouvert ou demi-ouvert
Un intervalle qui inclut seulement une de ses bornes, noté [a, b) ou (a, b].
Types d'Intervalles
Intervalles ouverts
Un intervalle ouvert, noté sous la forme (a, b), est un ensemble de tous les nombres réels x tels que a < x < b. Les bornes a et b ne sont pas incluses dans cet intervalle. Les intervalles ouverts sont souvent utilisés pour décrire des situations où les limites ne sont pas atteintes.
Intervalles fermés
Un intervalle fermé, noté sous la forme [a, b], inclut ses bornes a et b. Cela signifie que l'ensemble comprend tous les nombres réels x tels que a ≤ x ≤ b. Ces intervalles sont utilisés lorsque les bornes sont effectivement atteignables ou faisables dans une situation donnée.
Intervalles semi-ouverts ou demi-ouverts
Les intervalles semi-ouverts ou demi-ouverts sont ceux qui incluent techniquement une seule de leurs bornes. Par exemple, l'intervalle [a, b) inclut a et tous les x tels que a ≤ x < b, mais n'inclut pas b. Inversement, l'intervalle (a, b] n'inclut pas a mais inclut b. De tels intervalles sont employés dans des circonstances spécifiques qui nécessitent l'inclusion d'une borne mais pas de l'autre.
Représentation des Intervalles
Notation graphique
Lorsqu'on représente des intervalles sur une droite numérique, un intervalle ouvert est indiqué par des parenthèses tandis qu'un intervalle fermé est représenté par des crochets. Dans le cas d'intervalles semi-ouverts, un crochet est dessiné à l'extrémité qui est incluse et une parenthèse à l'extrémité qui ne l'est pas. Cette représentation graphique aide à la visualisation des intervalles sur la ligne des nombres réels.
Utilisation des intervalles en analyse
Les intervalles sont omniprésents dans l'analyse mathématique car ils aident à définir des domaines de fonctions, des ensembles de solutions et des plages de valeurs acceptables. Entre autres usages, lorsqu'une fonction est examinée pour sa continuité ou ses points de rupture, la compréhension des divers types d'intervalles offre un cadre pour déterminer les segments où les fonctions peuvent être continues ou non.
A retenir :
Les intervalles sont des ensembles de nombres réels qui peuvent être ouverts, fermés ou semi-ouverts, décrivant des parties continues de la ligne des réels. L'intervalle ouvert ne comprend pas ses limites, tandis que le fermé les inclut, et les semi-ouverts en incluent seulement une. Ils se représentent par des parenthèses et des crochets, et leur usage est crucial dans diverses branches de la mathématique, surtout en analyse, pour délimiter des domaines et des solutions possibles.
