Définition
Dérivée
La dérivée d'une fonction en un point est la pente de la tangente à la courbe représentative de cette fonction au point considéré.
Fonction dérivable
Une fonction est dite dérivable sur un intervalle si elle admet une dérivée en tout point de cet intervalle.
Taux de variation
Le taux de variation d'une fonction entre deux points mesure à quel point la fonction augmente ou diminue entre ces points.
Notion de Dérivée
La dérivée d'une fonction f en un point x, notée f'(x), représente le taux de variation instantané de la fonction. Cela se traduit géométriquement par la pente de la tangente à la courbe de la fonction en ce point. Une manière de comprendre intuitivement cette notion est de considérer comment la position d'un objet change à un instant particulier si sa fonction position est donnée.
Calcul de la Dérivée
Formule de base
Dans l'ensemble des réels, la dérivée de la fonction f en un point x est donnée par la formule limite :
f'(x) = lim(h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h
Cela signifie que nous regardons comment la valeur de la fonction f change lorsque l'on effectue de très petits changements autour de x.
Dérivées usuelles
Certaines fonctions ont des dérivées qui apparaissent souvent dans les exercices, notamment :
- La dérivée de f(x) = x^n (n étant un réel) est f'(x) = nx^(n-1).
- La dérivée de f(x) = e^x est f'(x) = e^x.
- La dérivée de f(x) = ln(x) est f'(x) = 1/x.
Règles de Dérivation
Règle de la somme
La dérivée de la somme de deux fonctions est la somme de leurs dérivées. Si f(x) et g(x) sont dérivables, alors (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x).
Règle du produit
La dérivée du produit de deux fonctions est donnée par (f * g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x). Cette règle permet de dériver des fonctions qui sont des produits.
Règle du quotient
La dérivée du quotient de deux fonctions non nulles est (f/g)'(x) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / (g(x))^2. Cette règle est utile lorsque l'on dérive des fractions.
Applications de la Dérivée
Étude de la croissance ou décroissance
La dérivée permet de déterminer où une fonction est croissante ou décroissante. Si f'(x) > 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle. Inversement, si f'(x) < 0, alors f est décroissante.
Calcul d'extrema
Les points où la dérivée d'une fonction s'annule (f'(x) = 0) sont des candidats pour être des extrema (maximum ou minimum locaux). L'étude du signe de la dérivée autour de ces points permet de déterminer la nature de l'extrémum.
A retenir :
La dérivée d'une fonction en un point est donnée par la limite du taux de variation à ce point. Elle est utilisée pour déterminer la pente de la tangente à la courbe et pour étudier le comportement local de la fonction. Les règles de calcul, telles que la somme, le produit, et le quotient, facilitent le processus de dérivation. La compréhension des dérivées permet d'analyser la croissance, la décroissance, ainsi que de localiser les points d'extrema des fonctions.
