Définitions de base
Définition
Fonction
Une fonction est une relation qui associe chaque élément d’un ensemble de départ à un unique élément d’un ensemble d’arrivée.
Dérivée
La dérivée d'une fonction en un point est la pente de la tangente à la courbe représentative de cette fonction en ce point.
Nombre dérivé
Le nombre dérivé d'une fonction f en un point x0 est la limite du taux d'accroissement de f entre x0 et x quand x tend vers x0, s'il existe.
Le concept de la dérivation
La notion de dérivation repose sur la compréhension de la variation d’une fonction. Lorsqu’on étudie une fonction, il est souvent utile de connaître la manière dont elle varie : croît-elle, décroît-elle, et à quelle vitesse ? La dérivation est l'outil mathématique qui permet de répondre à ces questions. Pour dire simplement, lorsqu’on dérive une fonction, on cherche à déterminer la fonction qui donne la pente de la tangente à la courbe en un point donné.
La dérivation est utilisée pour étudier les changements de comportement des fonctions. En examinant les dérivées d'une fonction, on peut comprendre comment la fonction se comporte localement autour d'un point particulier, ce qui permet de prendre des décisions sur l'ensemble de sa courbe.
Calcul de la dérivée
Pour calculer la dérivée d'une fonction, il existe plusieurs règles et formules incontournables. Voici quelques-unes des plus fréquemment utilisées :
Règle de dérivation de la somme
La dérivée de la somme de deux fonctions est égale à la somme des dérivées de ces fonctions. Autrement dit, si f(x) = u(x) + v(x), alors f'(x) = u'(x) + v'(x).
Règle de dérivation du produit
La dérivée du produit de deux fonctions u et v est donnée par (uv)' = u'v + uv'. C'est la règle de dérivation du produit qui permet de dériver des fonctions polynomiales ou des combinaisons plus complexes.
Règle de dérivation du quotient
Pour la dérivation du quotient, soit f(x) = u(x) / v(x). Alors f'(x) = (u'v - uv') / v². Cette règle est essentielle pour dériver les fonctions qui sont des quotients de deux autres fonctions.
Applications de la dérivation
La dérivation a de nombreuses applications pratiques dans plusieurs domaines. Par exemple, en physique, la dérivée est utilisée pour calculer la vitesse et l'accélération d'un objet. En économie, elle permet d'étudier l'évolution des coûts et des bénéfices. Plus généralement, elle est utilisée pour optimiser des situations où l'on cherche à maximiser ou minimiser une certaine quantité.
Dans les mathématiques elles-mêmes, la dérivation est fondamentale pour l’analyse des courbes, permettant de déterminer les points où une fonction est croissante ou décroissante. Par ailleurs, elle permet de localiser les points critiques, c'est-à-dire les points où la courbe change de direction, ce qui est crucial pour comprendre le comportement global de la fonction.
A retenir :
La dérivation est un concept fondamental qui permet de comprendre et d'analyser les variations locales des fonctions. La dérivée d'une fonction en un point nous renseigne sur la pente de la tangente à la courbe de la fonction en ce point, ce qui a de nombreuses implications tant théoriques que pratiques. Grâce aux règles de dérivation, il devient possible de calculer les dérivées de fonctions complexes et d'appliquer ces calculs à divers domaines pour optimiser, anticiper et comprendre des phénomènes dynamiques.
