Définition
Groupe
Un groupe est un ensemble G, muni d'une opération binaire ∘, satisfaisant quatre propriétés : fermeture, associativité, élément neutre et élément inverse.
Anneau
Un anneau est un ensemble muni de deux opérations (addition et multiplication) satisfaisant des propriétés similaires à celles des nombres entiers.
Corps
Un corps est un anneau commutatif avec un élément inverse pour la multiplication non-null.
Module
Un module est une généralisation du concept de vecteur, sur un anneau au lieu d'un corps.
Groupes
Les groupes sont une structure fondamentale en algèbre. Un groupe est défini par une opération binaire qui respecte certaines propriétés : la fermeture, l'associativité, l’existence d’un élément neutre et l'existence d'inverses. Chaque élément d’un groupe a un inverse qui appartient également au groupe.
Anneaux
Les anneaux étendent la notion de groupes en y ajoutant une seconde opération. Un anneau est composé d'un ensemble équipé de deux opérations : l'addition et la multiplication. Ces opérations rendent l'anneau capable de modéliser des entiers avec des propriétés essentielles telles que la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition.
Corps
Un corps est une structure algébrique qui généralise et étend les propriétés des nombres rationnels. Un corps est un anneau dont chaque élément non-nul possède un inverse multiplicatif. Cela signifie qu'en plus des propriétés des anneaux, les corps permettent la division par tout élément non-nul.
Modules
Les modules sont une généralisation des espaces vectoriels, mais au-dessus des anneaux au lieu des corps. Un module sur un anneau partage de nombreuses propriétés avec les espaces vectoriels et fournit un cadre plus flexible qui peut être appliqué dans des contexte où les scalaires ne forment pas un corps, mais simplement un anneau.
Morphismes
Les morphismes sont des fonctions entre structures algébriques qui préservent leur structure. Dans le cas des groupes, un morphisme de groupes, ou homomorphisme, est une application qui respecte l'opération de groupe. Pour les anneaux, les homomorphismes doivent préserver à la fois l'addition et la multiplication.
Espace vectoriel
Un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs, qui peut être mis à l'échelle et additionné de manière linéaire. Il est défini sur un corps, ce qui signifie qu'il partage de nombreuses propriétés algébriques avec les corps. L'étude des espaces vectoriels inclut des concepts tels que la base, la dimension, et les applications linéaires.
Matrice et déterminants
Les matrices sont des tableaux rectangulaires de nombres, et elles encapsulent des informations sur des transformations linéaires et les systèmes d'équations linéaires. Le déterminant est un scalaire qui peut être calculé à partir d'une matrice carrée et révèle des propriétés importantes telles que la singularité de la matrice.
A retenir :
L'algèbre post-bac explore des structures algébriques avancées telles que les groupes, anneaux, corps, et modules, en cherchant à comprendre leurs propriétés et relations. Ces concepts sont fondamentaux pour des domaines tels que l'algèbre linéaire, la théorie des nombres, et l'analyse fonctionnelle. La compréhension des morphismes entre ces structures permet d'étudier les relations fonctionnelles qui préservent leurs propriétés algébriques.
